Nr. Bß. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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giebt es auch zwei mit rll beginnende Reihenfolgen. Und 

 da durch Vertauschung von r und 1 der anfängliche Cyclus 

 in seine Umkehrung übergeht, so verhält sich 111 genau 

 wie rrr, 11 r wie rrl und Irr wie rll. Es bleiben daher 

 nur noch die Fälle rlr und Irl übrig, welche sich wieder 

 gleich verhalten, und von denen jeder zu 4 Lösungen 

 führt. So haben die 4 Lösungen, die sich auf rlr be- 

 ziehen, die Symbole: 



rlrlrrrlllrlrlrrrlll 

 und rlrrrlllrlrlrrrlUrl 

 und rlrlrlllrrrlrlrlUrr 

 und rlrlllrrrlrlrlllrrrl. 



Diesen 4 mit rlr beginnenden Lösungen entsprechen 

 z. B. die 5 Anfangs-Stationen A, B, C, K, I, und wir er- 

 halten, entsprechend den obigen 4 Lösungen die folgenden 

 4 Rundreisen: 



1) ABCKIQRGHDEFTSOPLMNÜA 



2) ABCKIHDEFGRQPLMNOSTÜA 



3) ABCKIQRSOPLMNUTFGHDEA 



4) ABCKIQPLMNOSRGHDEFTUA. 



Aus der Lage der gegebenen 5 Anfangs-Stationen 

 lässt sich also sofort entnehmen, ob 2 oder 4 Rundreisen 

 möglich sind. Wenn V, W, X, Y, Z die 5 Anfangspunkte 

 sind, so kommt es darauf an, ob man bei der Durch- 

 reise durch W, X, Y sich rechts oder links wendet. 

 Wenn man sich erst rechts, dann links, dann rechts 

 wendet, so giebt es 4 Rundreisen, ebenso auch, wenn 

 man sich erst links, dann rechts, dann links wendet. 

 In allen übrigen Fällen giebt es nur zwei. Aus unserm Cyclus 



rrrlllrlrlrrrlllrlrl 



kann man auch erkennen, in welchen Fällen eine Rund- 

 reise mit sechs oder noch mehr gegebenen Anfangssta- 

 tionen gelingt. Bei 6 gegebenen Stationen liandelt es 

 sich darum, ob man sich bei dem Passiren der 4 mittleren 

 Stationen so wendet, dass die 4 Wendungen in dem 

 obigen vorwärts oder riick\värts gelesenen Cyclus vor- 

 kommen. Aus den Buchstaben r = rechts und 1 = links 

 lassen sich aber 16 Gruppen zu je vieren zusammen- 

 stellen, von denen 12 in unserm Cyclus vorkommen, 

 4 aber nicht. Diese vier sind: 



rrrr,rllr, Irrl, 1111. 



Von diesen 4 Gruppen können rrrr und Uli natur- 

 gemäss nicht vorkommen, da diese sich auf die ümwan- 

 derung eines Fünfecks beziehen, sodass als sechste Sta- 

 tion wiederum die erste Anfangsstation auftritt. Es bleiben 

 also danach nur die Fälle rllr und Irrl als solche übrig, 

 bei denen eine Rundreise unmöglich wird. Der erste 

 dieser Fälle tritt z. B. ein, wenn A, B, C, K, L, P als die 

 6 ersten Stationen vorgeschrieben sein sollten. Man sieht 

 die Unmöglichkeit einer so beginnenden Rundreise auch 

 daran, dass bei einem derartigen Reiseanfang die Station 

 M nicht wieder verlassen werden konnte. Denn von 

 ihren drei Nachbarn B, L, N sind B und L schon vorher 

 passirt, so dass man also zu M nur von N aus gelangen 

 könnte, ohne dann die Möglichkeit einer AVeiterreise zu 

 haben. 



Aus dem von uns gewonnenen Cyclus ergiebt sich 

 auch sehr leicht die Anzahl der möglichen Rundreisen 

 in den Fällen, wo weniger als 5 Anfaugsstationen ge- 

 geben sind. Man erkennt dann die Richtigkeit der wohl 

 schon von Handlton aufgestellten Tabelle, die auch Herr 

 Lucas in seineu Rccreations anführt. 



Gegebene „ 



Allfangspunkte fuhren zu Losungen 



8 oder mehr 1 oder 0, 



7 2 oder 1 oder 0, 



6 3 oder 2 oder 1 oder 0, 



5 4 oder 2, 



4 6 oder 4, 



3 10, 



2 20, 



1 30. 



Alle diese Resultate flössen aus dem obigen von den 

 Buchstaben r und 1 gebildeten Cyclus. Dieser aber ent- 

 stand aus einer schon als gefunden angesehenen Lösung. 

 Daher entsteht die Frage, ob die Hamilton'sche Methode, 

 welche ja aus einer Lösung alle Lösungen leicht ergiebt, 

 auch im Stande ist, von vornherein eine Lösung 

 theoretisch zu entwickeln. Die Bejahung dieser Frage 

 erkennt mau aus gewissen Relationen, die sich zwischen 

 den Gruppirungen der Buchstaben r und 1 aus der Natur 

 der grundlegenden Figur ergeben. Man ersieht daraus 

 leicht, dass man immer zu dem- 

 selben Ausgangpunkt zurück- ^y^ ^'^^31 



kommt, gleichviel ob man zwei- /^S^ — 1 — ~~vyg\ 

 mal nach einander links geht, / /^ \__^ >. \ 

 oder erst rechts, dann dreimal / «'v/l/^'^^N^i''' \ 

 links und endlich wieder rechts. ' (^(*^ ^'j | | 



Z. B. gelangt man, von ü kom- \\z \^ &,) kil- 

 mend, über A und B nach M, ^\\ V- — '\//^ 

 indem man zweimal links geht. \ ^^;i3ry^( / 

 Man gelangt aber auch über ^v/~~|\x^ 



A, E, D, C, B nach demselben ^^"ö''^'^ 



Punkte M; wobei man erst 



rechts, dann dreimal links und zuletzt rechts geht. Man 

 kaun diese Erscheinung symbolisch so ausdrücken: 



ll = rlllr. 



Ebenso überzeugt man sich auch von der Richtig- 

 keit der folgenden Gleichiuig Irl = rllr. Ferner erhält 

 man aus diesen beiden Relationen noch zwei neue, wenn 

 man überall r und 1 miteinander vertauscht. Diese Re- 

 lationen kann man nun verwenden, um aus einer selbst- 

 verständlichen Rundreise über nur fünf Stationen die auf 

 alle 20 Stationen bezüglichen Cyclen abzuleiten. Wenn 

 man den Umfang eines der Fünfecke, aus denen sich 

 die Dodekaeder-Figur zusammensetzt, umkreist, so kehrt 

 man zum Anfangspunkt zurück, indem man entweder 

 fünfmal nach einander links oder fünfmal rechts umbiegt. 

 Diese Thatsache nehmen wir als Ausgangspunkt. Dann 

 erhalten wir mit fortwährender Benutzung der Relation 

 1 1 = rlllr die folgende theoretische Ableitung eines Cyclus : 



(11) 111 = (rlllr) 111 = (rrlllrlr) (rlllrl) 

 = (rrrlllrlrlr)(rrlllrlrl) 

 = rrrlllrlrlrrrlllrlrl. 



Von welcher Relation man auch ausgehen mag, und 

 wie man auch die Substitutionen vornehmen mag, man 

 gelangt, sobald mau 20 Buchstaben erreicht hat, immer 

 zu einer Gruppe, die sich von der eben gefundenen ent- 

 weder nur dadurch unterscheidet, dass sie an einer andern 

 Stelle anhebt, aber cyclisch mit ihr identisch ist, oder, 

 dass sie statt vorwärts rückwärts läuft. Damit erkennt 

 man von neuem, dass andere Lösungen, als die aus 

 unserem Cyclus resultirendcn unmöglich sind. 



Ausser Hamilton selbst hat auch der französische 

 Artillerie-Offizier Herniary das Hamilton'sche Problem 

 matliematisch behandelt. Von seinen beiden Methoden, 

 um zu allen Lösungen zu gelangen, soll hier die eine 

 kurz erwähnt werden. Wenn Jemand zwei aufeinander- 

 folgende Strecken der Dodekaeder-Figur durclnvaudert 



