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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 36. 



hat, so hat er dadurch immer zwei Seiten eines einzigen 

 bestimmten Fünfecks passirt. Es kann dalier beim 

 Weiterwandern nur zweierlei stattfinden, entweder die 

 dritte durchwanderte Strecke gehört mit den ersten beiden 

 Strecken zu einem und demselben Fünfeck, oder die 

 dritte Strecke gehört mit der zweiten Strecke zu 

 einem andern Fünfeck, als das Fünfeck war, zu dem 

 die beiden ersten Strecken gehörten. Im ersten Falle 

 wollen wir die Art des Wanderns mit b als dem ersten 

 Buchstaben von „bleiben" bezeichnen, im zweiten Falle 

 mit w als dem ersten Buchstaben von „wechseln". Man 

 kann daher bei jeder Rundreise zwischen zwei Stationen 

 immer durcli Angabe der Buchstaben b und w augeben, 

 welche von den beiden Arten des Wanderns an jener 

 Stelle befolgt ist, wie aus der folgenden Figur ersicht- 

 lich ist, wo die grossen lateinischen Buchstaben in ihrer 



alphabetischen Reihenfolge die 

 Rundreise angeben, und wo die 

 Buchstaben b imd w andeuten, ob 

 die erste oder die zweite von den 

 beiden eben angedeuteten Arten 

 des Wanderns befolgt ist. Wir 

 erhalten also die Reihenfolge: 



wwbb wbbw wwwwbbwbbwww, 



oder, da die erste Strecke bei 

 einer Rundreise sich wieder an 

 die erste anschliesst, 5 Wechsel, 

 2 Bleiben, 1 Wechsel, 2 Bleiben 

 und dann in derselben Reihenfolge nochmal. Es zeigt 

 sicii leicht, dass alle Lösungen des Problems demselben 

 soeben erhaltenen Gesetze gehorchen, wenn die Reihen- 

 folge des Wechseins und Bleibens als cycliseh betrachtet 

 wird, und wenn ausserdem jede Rundreise sowohl vor- 

 wärts als rückwärts aufgefasst wird. Auch diese Methode 

 von Herniary führt dazu, bei gegebenen Aufangsstationen 

 leicht zu erkennen, wieviel Lösungen möglich sind, und 

 damit die oben angegebene Tabelle der Lösungen zu 

 bestätigen. Wenn insbesondere 5 Anfangsstationen ge- 

 geben sind, etwa V, W, X, Y, Z, so können nur 4 Fälle 

 eintreten, je nachdem nämlich die Strecke X Y demselben 

 Fünfeck wie Y W und W X oder einem neuen angehört, 

 und je nachdem dann Y Z demselben Fünfeck wie W X 

 und X Y oder einem neuen angehört, d. h. wir haben 

 nur die 4 Fälle bb, bw, wb, ww. Aus dem oben ge- 

 wonnenen Cyclus von Buchstaben b und w entnehmen 

 wir nun aber, dass anfangen : 



1) mit bb 2 Grup- 

 pen, nämlich: 



2) mit b w 2 Grup- 

 pen, nämlich: 



3) mit wb 2 Grup- 



pen, 



nämlich : 



4) mit w w 4 Grup- 

 pen , nämlich : 



( bbwbbwwwwwbbwbbwwwww 

 i bb www wwbb wbbw wwwwbbw 



( bwbbwwwwwbbwbbwwwwwb 

 \ bwwwwwbbwbbwwwwwbbwb 



f wbbwwwwwbbwbbwwwwwbb 

 [ wbbwbbwwwwwbbwbbwwww 



www wwbb wbbwwwwwbbwbb 

 w w w w b b w b b w w w w w b b w b b w 

 wwwbbwbbwwwwwbbwbbww 

 wwbb wbbwwwwwbbwbb www 



Aus diesem Resultat ergiebt sich immer sofort die Ent- 

 scheidung, ob bei beliebig gegebenen fünf Anfangssta- 

 tionen zwei oder vier Lösungen existiren. Auch die Ta- 

 belle über die Anzahl der Lösungen bei einer andern 

 Zahl von gegebenen Aufangsstationen konnte Hermary 

 aus seiner Methode leicht ableiten. 



Trotz der grossen Eleganz sowohl der Hamilton'schen 

 wie der Hermary 'sehen Untersnchungsmethode des Dode- 

 kaeder-Rundreiseproblems, hält der Verfasser dieser Ar- 

 tikel es dennoch für praktisch, eine dritte Methode noch 



anzufügen, welche zwar an Schärfe und Exactheit 

 tief unter den eben besprochenen steht, aber doch 

 den Vortheil hat, dass sie in gleicher Weise auf jede 

 aus Punkten und ihren Verbindungslinien bestehende 

 Figur anwendbar ist. An eine Erweiterung des Hamil- 

 ton'schen Rundreiseproblems haben selbstverständlich 

 schon Hamilton, Hermary und auch Lucas und Bali, 

 der öfter genannte Verfasser der Rccreations, gedacht. 

 Auch der Leser wird vielleicht schon daran gedacht 

 haben, ob die Rundreise, welche er im Sommer beabsich- 

 tigt, die Hamilton'sche Bedingung erfüllt, dass jede Sta- 

 tion, welche einmal berührt ist, nicht wieder berührt 

 werden darf. Um also eine praktische Methode zu ge- 



winnen, welche 



auch bei 



beliebiger 



Anordnung von 



Punkten und Verbindungslinien zu Lösungen führt, be- 

 trachten wir noch einmal unsere grundlegende Figur, die 

 aus drei concentrischen Kreisen hervorgeht. Markirt man 

 bei dieser Figur die durchwanderten Strecken, um sie 

 von den nicht durchwanderten unterscheiden zu können, 

 so muss jede Rundreise immer 20 bcschrittene und 10 

 unbcschrittene Strecken ergeben. Denn jede von den 

 20 Stationen verlässt man bei einer solchen Rundreise 

 einmal, so dass ebensoviel Linien besehritten werden, 

 wie es Stationen gicbt. Da ferner 30 Linien im Ganzen vor- 

 handen sind, so bleiben immer 10 unbcschrittene Linien übrig. 

 Es ist ferner klar, dass jede Station eine, aber auch nur 

 eine, unbcschrittene Strecke aussendet, weil von den 

 3 Strecken, die von iiir ausgehen, eine zur Hinreise und 

 eine zur Abreise benutzt werden muss. Es handelt sich 

 also darum, von den 30 Linien zehn auszulesen, so dass 

 von jedem Punkte immer gerade eine ausgeht. Die Aus- 

 wahl ist aber in praxi immer viel leichter, als die Aus- 

 wahl der zu befahrenden Strecken, weil die Anzahl der 

 letzteren 20, die Anzahl der nicht zu beschreitenden 

 Strecken aber nur 10 beträgt. Bei- 

 spielsweise ist die oben zuerst er- ,^-- '-,^ 

 wähnte Rundreise, bei welcher die 

 Reihenfolge der berührten Stati- 

 onen alphabetisch ist, in der bei- 

 stehenden Figur so dargestellt, 

 dass die 10 nicht beschritteneu 

 Strecken continuirlich gezeichnet 

 sind, die Rundreise selbst aber 

 punktirt ist. Natürlich lassen sich 

 die zehn nicht zu beschreitenden 

 Linien auf mannigfache Weise 



auswählen, jedoch, wie man leicht sieht, auf nur zwei- oder 

 vierfache Weise, wenn die 5 Anfangsstationen gegeben 

 sind, was mit dem oben nach der Hamilton'schen oder 

 Hermary'schen Methode gefundenen Resultat ül>erein- 

 stimmt. Beispielsweise stellen die vier folgenden Figuren 



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