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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 
Nr. 18. 
S. Gundelfinger und A. M. Nell, Tafeln zur Berechnung 
9stelliger Logarithmen mittelst einer neuen Interpolations- 
methode. Darmstadt, A. Bergsträsser, 1891. 
Bei Rechnungen ' (namentlich geodaetischen), die eime be- 
sonders hohe Genauigkeit erfordern, reicht die siebenstellige Tafel 
bekanntlich nicht aus. Man greift in solchen Fällen nach dem 
10stelligen Thesaurus logarithmorum von Vega, dessen Gebrauch 
indessen mit mehreren Unbequemlichkeiten verbunden ist. Letztere 
sind namentlich im Format (Folio), dann in der Mühsamkeit der 
Interpolation zu finden. Diese ist bei 5 bis 6stelligen Diffe- 
renzen ohnehin unbequem, wird es aber für einen grossen Theil 
der: Tafel wegen nothwendiger Berücksichtigung der zweiten 
Differenzen noch mehr. Die Herrn Verfasser dürfen daher mit 
Recht auf eine sehr freundliche und beifällige Aufnahme ihres 
Werkes bei dem wissenschaftlichen Publikum rechnen. Die Idee 
der Verfasser ist die, ‘die Interpolationsreehnung gewissermaassen 
dureh die mit Additionslogarithmen zu ersetzen. 
Das Buch besteht aus zwei Theilen, Tafel I und Tafel II. 
Die erstere enthält die 9stelligen Logarithmen der Zahlen 1000 
bis 10009. Tafel II giebt zum Argumente A die Funktion Z auf 
9 Deeimalen, wo beide Grössen durch die Gleichung 
10? — 1+ 10% 
zusammenhängen. Für A=logx, ist also B=log(l +). Dieser 
Theil der Tafel hat somit die Einrichtung der gebräuchlichen 
Tafeln der Additionslogarithmen. Das Argument A geht indessen 
nur von: 1,0 bis 7,000 (wo immer — 10 zu ergänzen), sodass die 
Tafel also für eine Tafel der Additionslogarithmen nicht voll- 
ständig ausreichen würde. 
Den Gebrauch der Tafel, die Methode der Interpolation, 
veranschaulicht folgendes von den Herren Verfassern gegebene 
Beispiel. Es sei zu suchen log 4397,583 76—=log N. Man setze 
0,58376 
T— 439 re Et 
N=4597 | 1+ 4397 
0,58376 
dann ist 
log N= 1084397 + B. 
A lässt sich immer vollkommen ausreichend mit einer6stelligen Tafel 
— die ja doch in jedes Rechners Hand ist — berechnen. Man kann 
ja natürlich auch Tafel I dazu anwenden. Um dies zu erleich- 
tern, sind in letzterer die Differenzen so angesetzt, als wären die 
Logarithmen auf 6 Deeimalen abgerundet. In unserem Beispiel ist 
log 0,58376 — 9,766 234 log 4397 — 3,643 156 466 
log 4397 = 3,613 156 B = 0,000 057 654 
A = 6,125 078 log N = 3,643 214 120 
Es genügt ein Blick auf dieses Beispiel um den wirklich sehr 
grossen Fortschritt zu kennzeichnen, den dies neue Werk — das 
mit Text nur 60 Seiten zählt — gegen den mächtigen Thesaurus 
und das Arbeiten mit ihm geschaffen hat. Wir haben hier ein in 
der That sehr dankenswerthes Unternehmen vor uns. 
Bringen wir obiges Beispiel in Form einer allgemeinen Regel, 
so ist also N in zwei Theile zu zerlegen, sodass 
N=n-+p, 
wo n aus den vier höchsten geltenden Ziffern von N besteht. 
Dann bildet man das Argument A—=logp — logn und sucht das 
zugehörige B, worauf man hat logN=logn-+ B. Ist umgekehrt 
logN gegeben und N gesucht, so nennt man den nächstkleinsten 
Logarithmen in Tafel I emfach logn, bildet B=1logN — logn, 
sucht mit dem Argumente B in Tafel II den Werth A, in ge- 
wöhnlicher Weise, und findet logp= A-+-logn und hiernach 
endlich N=n-+-p. 
Die Herren Verfasser haben nach Schrön’s Vorgang die letzte 
Deeimalstelle ihrer Tafelwerthe unterstrichen, wenn dieselbe um 
eine Einheit erhöht sind, (weil die zehnte Stelle 5 oder grösser 
als 5 ist)... Zu diesem Verfahren ist zu bemerken, dass es die 
objeetive Sicherheit des Rechnens nicht erhöht, aber die subjective 
Sicherheit des Rechners wohl zu stören vermag. Die neunten 
Deeimalen # und 2 können z. B. entstanden sein aus 36 und 17, 
aber auch aus 39 und 19. Im ersten Falle ist die zehnstellige 
Summation 553. also abgekürzt 5, im zweiten 58, also abgekürzt 
auf 9 Stellen 6. Der Rechner, der nur die Tafelwerthe vor sich 
sieht, kann aber nie wissen, wie die Zahlen vor der Abkürzung 
lagen, und wird gerade durch das Zufügen der Striche daher für 
den denkenden Rechner ein Moment subjeetiver Unsicherheit ge- 
schaffen. Ganz abgesehen davon ist aber ohne jede Besorgniss ein 
etwaiger Fehler in der letzten Stelle ruhig mit in Kauf zu nehmen, 
umsomehr als bei jeder längeren‘ Rechnung trotz theilweiser 
Compensation auch bei Gebrauch jener Vorsichtsmaassregel doch 
solche Fehler ganz unvermeidlich sich einstellen werden. 
Für den zweiten Theil der Tafel II von A=6,700 an sind 
die Argumente A im Intervall 0,0005 gegeben. Im Interesse einer 
möglichst kurzen und schnellen Interpolation sind daher auch 
hier in der Differenzspalte nicht die Differenzen A selbst, sondern 
gleich die Werthe 5 gegeben. 
Für den Anfang der Tafel IT geben die Verfasser eine sehr 
einfache Formel um zu einem gegebenen B das zugehörige A zu 
finden, die die hier nicht zureichende gewöhnliche Interpolation, 
was Schnelligkeit der Rechnung angeht, vollkommen ersetzt. 
Der Zifferntypus und die Ausstattung der Tafel sind vor- 
trefflich. Anlässlich einer grossen Reihe von Controlreehnungen, 
die ich im Interesse einer mehrstelligen Tafel für decimale Kreis- 
theilung anstellte, habe ich die Tafeln in allen ihren Theilen 
vielfach und eingehend zu benutzen gehabt und bis jetzt keinen 
Druckfehler gefunden. Die Beigabe einiger vielgebrauchten Con- 
stanten und ihrer Logarithmen (namentlich betr. Erddimensionen) 
und einer Tafel zur gegenseitigen Verwandlung Briggscher und 
natürlicher Logarithmen wird allgemein erwünscht sein. 
Das Werk stellt, wie ausdrücklich wiederholt sein mag, einen 
sehr dankenswerthen Fortschritt auf seinem Gebiete dar und wird 
namentlich in allen geodätischen Kreisen den verdienten, un- 
bedingten Beifall finden. Gravelius. 
Königl. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzung 
vom 2. April. 
L. Kronecker theilt 
Legendre’sche Relation 
EK+KE—KK=" 
2 
in Anknüpfung an die bekannte 
mit, dass er inhaltlich äquivalente Beziehungen gefunden hat, die 
aus der Betrachtung einer von ihm neu aufgestellten Reihe sich 
ergeben. Seine Mittheilung setzt die arithmetisch - algebraischen 
Untersuchungen aus der Theorie der elliptischen Functionen, die 
Kronecker namentlich im letzten Vierteljahr veröffentlichte, fort. 
— Schulze legt eine Arbeit von Dr. Otto Maas vor über „die 
craspedoten Medusen der Plankton-Expedition“, über die wir aus- 
führlicher berichten werden. 
Verhandlungen der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin. 
XVII. No. 3 bringt eine Arbeit E. Goebeler’s über die me- 
chanischen Wirkungen des Wassereises, in der 1. die Faltung des 
Eises und 2. die Uferwälle besprochen ‘werden. Bezüglich der 
letzteren sagt Verfasser, dass sie durch Pressionen des vor- 
drängenden Kises entstehen. 
Annalen der Physik und Chemie. 1391. Heft IV. 
Von allgemeinerem Interesse sind hier folgende Aufsätze: 
J. Elster und H. Geitel, Notiz über eine neue Form des 
Apparates zur Demonstration der liehtelektrischen Entladung 
dureh Tageslicht. — L. Arons und H. Ruben, Ueber die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit elektrischer Wellen in isolirenden 
Flüssigkeiten. — W. Wien, Das Telephon als optischer Apparat 
zur Strommessung. — RK. Olzewski. Ueber das Absorptions- 
speetrum und über die Farbe des flüssigen Sauerstoffs. Verfasser 
hat sieh überzeugt, dass der flüssige Sauerstoff von bläulicher 
Farbe ist. Er kommt am Schlusse seiner Abhandlung auf die 
Frage nach dem Ursprung der Himmelsfarbe zu sprechen und 
glaubt, eben auf Grund obiger Erfahrung, die Ursache für das 
Blau des Himmels in dem Sauerstoff der Luft suchen zu dürfen. 
Königl. Sächsische Gesellschaft der Wissenschaft. Leipzig. 
1890. Heft IV. 
Sophus Lie bringt zwei tiefgehende Aufsätze, welche die von 
ihm geschaffene Theorie der Transformationsgruppen betreffen. 
A. Meyer hat eine für weite mathematische und physikalische 
Kreise werthvolle Arbeit „Allgemeine integrirbare Formen der 
Differentialgleichungen I. Ordnung und ihre Kriterien.“ 
Inhalt: Prof. W. Förster: Ueber periodische Veränderungen der Lage der Drehungsaxe der Erde. — Myrica gale und Ledum 
palustre. — Hermaphroditismus bei Krustern. — Zum Mariotte’schen Gesetz. — Aktinometrische Beobachtungen in Moskau. — 
Gewinnung von Kohlensäure. — Ueber die Selbstreinigung der Flüsse. — Neuere Bestimmungen .der Länge des Seeundenpendels 
in Russland. — Ein interessanter Regulator für Dampfmaschienen. — Kaffee-Appreturen. — Litteratur: Emile Mathieu: Theorie 
de l’elastieit& des corps solides. — Dr. Julius Mai: Vademeeum der Chemie. — S. Gundelfinger und A. M. Nell: Tafeln 
zur Berechnung 9stelliger Logarithmen mittelst einer neuen Interpolationsmethode. — Königl. Preussische Akademie der 
Wissenschaften. — Verhandlungen der Gesellschaft für Erdkunde zu Berlin. — Annalen der Physik und Chemie. — Königl. 
Sächsische Gesellschaft der Wissenschaft. Leipzig: 
Verantwortlicher Redakteur: i. V. H. Gravelius, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94, für den Inseratentheil: Hugo Bernstein in Berlin. — 
Verlag: Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12. — Druck: G. Bernstein, Berlin SW. 12. 
