2 Hj. Tallqvist. 



Die LAGRANGE'sche Gleichung für die Bewegung auf der Curve ist 



^^^ dt\ôp') dp~ 



Hierin bezeiclmet T die kinetische Energie des Punlctes, p' die Ableitung in Bezug auf die 

 Zeit und P die verallgemeinerte Kraft. Ist die Kräftefunction U(x,y,z) und bezeichnet man 

 sie noch nach Einsetzung der Werte (1) mit U{p), so hat man 



(3) p=xp+T^+Z^ = 

 ^ -' dp dp dp 



_dUdx dUdy öUdz_dü 

 ~~ dxdp dydp dz dp" dp' 



In einer Gleichgewichtslage ist nach dem Princip der virtuellen Verschiebungen P=0, somit 

 auch -y— = und Xdx-\-Ydy -\- Zdz = 0, d. h. die äussere Kraft muss senkrecht zur Curve 

 sein. Einer Gleichgewichtslage entspreche der Wert p,^, und man setze i)=_Po + ?, wobei ? 

 eine kleine Grösse ist. In der Umgebung von ^o bestehen, von singulären Fällen abgesehen, 

 EntWickelungen von der Form 



(4) 2 T = m (;r'2 + y'^ -j- ^'2) = i^ {p) ■ p"^ = F (p) • g'^ = 



(5) U{p)^B,^ * + 1.5^j2 4..... 



Die Constante Äo = F{po) ist ihrer Natur nach eine stets positive Grösse. Setzt man die 

 Werte (4) und (5) in die Gleichung (2) ein und beschränkt sich auf die Glieder niedrigster 

 Ordnung in Bezug auf £, so findet man die Differentialgleichung für die Bewegung auf der 

 Curve in der Nähe der Gleichgewichtslage 



(6) Aog-i?,J = 0. 



Diese Gleichung stellt in dem Falle Schwingungen dar, dass die Constante i?2 negativ ist. 

 Die Kräftefunction U(p) ist dabei nach (5) ein Maximum für^ = Po, hi Uebereinstimmung 

 mit dem zu beweisenden Satze. Die Periode der unendlich kleinen Schwingungen um die 

 Gleichgewichtslage beträgt nach bekannten Formeln 



(7) 2^// ^" 



3. Der Punkt sei ferner an eine Fläche gebunden, deren Gleichungen man in der Form 

 mit zwei Parametern 



(8) x=cp(p,q); y=ili(î),q); z = x(p,q) 



Tom. XXXV. 



