4 Hj. Tallqvist. 



ist. Aus den vier Particularlösungen setzt sich die allgemeine Lösung linear zusammen. Nur 

 in dem Falle entfernt sich der bewegliche Punkt nicht um Endliches aus der Gleichgewichts- 

 lage, wenn diese Lösung die Form 



(16) ? = Ci sin (^', i + «I ) + (72 sin (fcg t + a^) 



annimmt. Hierzu ist es erforderlich, dass die beiden Wurzeln r,^ und »V'' der Gleichung (15) 

 reel, ungleich und negativ seien, wobei dann r,^ ^ — J^^, r^ = — li^ zu setzen ist. Die Bewegung 

 ist in diesem Falle in jeder Coordinate eine zusammengesetzte unendlich kleine Schwingung 

 mit zwei charakteristischen Perioden 2sr:ii und 2si:h^. 



Zwecks der Discussion der Wurzeln der Gleichung (15) bemerke man zuerst, dass die 

 durch (11) gegebene kinetische Energie T stets positiv sein muss. Die Bedingungen hierfür sind 



(17) ^11^22 - ^12^ >0; All >0; A22>0. 



Die letzte Ungleichung folgt unmittelbar aus den beiden ersten; hierbei wurde von Grenz- 

 fällen abgesehen. 



Die entwickelte Gleichung (15) lautet 



(18) (AaAj2-Al2''')»-*-(^lA2 + A22-Bll -2^25l2)»-'+-BuA2-^.2' = 0. ' 



Ihre Discriminante ist, von einem positiven Factor abgesehen, 



(19) Z) = (.4„i?22 + ^2-B. -2Ai25i,)2-4(il,,422-Al2')(-Bll-B22-5>2'^)- 



Aus der identischen Gleichung 



(20) A,_,A^^D={2Å,,A.,^B,^ - A,2 (11,^22 + A22-B1,))' + (^1, ^22 - Ai22)(Aii522 - 422^.1)' 



ersieht man mit Hülfe von (17), dass D immer positiv ist. Die beiden Wurzeln r^ der Gleichung 

 (15) sind folglich reel. Damit sie auch negativ seien, müssen ausserdem die Bedingungen 



(21) Aii522 + A22-Bu-2Ai2-B,2<0 und ^n -B22 - -Bi2^ > 

 erfüllt sein. Man hat nun identisch 



AjQjBil (A]i522 + ^22-^11 — 2^12^12) = 

 = (5„ ^2 - A12-B12)' + An A22 (-Bu^22 - -5,2^) + (A„ A22 - ^12^) Bi2% 



und schliesst hieraus, dass die Bedingungen (21) auf Grund von (17) durch die folgenden ersetzt 

 werden können: 



(22) 5,1-552 - ^12^ > 0; 5i,<0; i?22<0. 

 Da gemäss (12) 



ist, so stellen die Ungleichungen (22) die bekannten Bedingungen dar, dass die Function U 

 für ? = 0, r] = ein Maximum sei. Das Gleichgewicht ist folglich in diesem Falle stabil und 

 umgekehrt, w. z. b. w. 



Tom. XXXV. 



