Stabilität des Oleichgewichtes eines Punktes. 



4. Wir behandeln jetzt zuerst den Fall des Gleichgewichtes auf einer ebenen Curve, 

 in deren Ebene die reaultirende äussere Kraft gelegen ist. Die Gleichung der Curve sei 



(23) 



F{x,y) = 0. 



Mit der in Gl. (23) enthaltenen Bedingung soll die Kräftefunction U{x. y) zu einem Maximum 

 gemacht werden. Mit Anwendung eines unbestimmten Multiplicators A ist also 



(24) 



und folglich 

 (25) 



ÖU__^ÖF ÖU_^ÖF 



ax ax oy oy 



dU^ dU_öF^dF 

 öx ' öy dx ' dy ' 



Diese Gleichung enthält die Ortogonalitätsbedingung der Kraft und Curve; macht man von 

 den Niveaucurven U {x , y) = Conat. Gebrauch, so kann man auch sagen, dass die grep'e&ene Curve 

 in einer Oleichgeivichtslage die entsprechende Niveaueurve berühren tnuss. 

 Bedingung des stabilen Gleichgewichtes ist 



(26) 



d-'{U-^ F) 

 dx'- 



<0, 



wo y als eine durch (23) gegebene Function von x gedacht wird. Wendet man die abkür- 

 zenden Bezeichnungen 



dF _ dF dU àU 



J^"-^" dy--^^' öx~^" dy~^^' 



dx^~ '" ûxày" '^ 



dHJ 



= ü„ 



an, so hat man 



dy 

 dx 



F, 



d{U-XF) ijr,,TT ■,j,,dy_ U,F,-U,F, 



und erhält speciell in einer Gleichgewichtslage, für welche die Gleichung (25) gilt, 



dHU-XF) ^ F./ Un-2F,F, U,^ + F^' U^, 

 dx^ Fi' 



U,F,F, , ^ (^7. F, + U,F,) F,, + U, F, F,, 

 F^ 



oder noch mit Hülfe von (24) 



d^ (U- XF) U.^U,, - 2U,U,Ü,^ + U,^U,^ , F^^F,, - 2F,F,F,, + F,^F,, 



(27) 



dx'^ 



H:o 3. 



