Stabilität des Oleichgewichtes eines PunJctes. 7 



muss man bei stabilem Gleichgewichte zuerst der Curve und dann der Niveaulinie begegnen. 

 Diese Formulierung gilt noch, wenn die Niveaulinie eine Gerade ist wie im Schwerkraftfelde; 

 die unteren Gleichgewichtslagen sind die stabilen, die oberen die labilen. 



Bei stabilem Gleichgewichte ist die tangentielle Componento der Feldkraft in einem 

 der Gleichgewichtslage benachbarten Punkte der Curve nach dieser Lage hin gekehrt. Würde 

 es keine Kräftefunction geben, so hätte man die Untersuchung der Stabilität auf diese Eigen- 

 schaft zu gründen. 



Weitere Beispiele liefert z. B. ein Punkt auf einer Ellipse beim Vorhandensein einer 

 aus dem Mittelpunkte der Ellipse ausgehenden anziehenden oder abstossenden Centralkraft. 



Schliesslich sei bemerkt, dass man bei der Ableitung des Satzes das Coordinatensystem 

 und die Gleichung der Curve specieller hätte wählen können um eine Vereinfachung der Be- 

 rechnungen zu erzielen. Dies werden wir in der Tat bei der Fläche und der Raumcurve im 

 Folgenden tun. 



5. Die Gleichung einer gegebenen Fläche sei 



(31) F{x,y,z) = 0; 



ein räumliches Kraftfeld sei durch die Kräftefunction U(x,y,z) bestimmt. In einer stabilen 

 Gleichgewichtslage auf der Fläche muss U(x,y,z) ein Maximum sein. Man erhält zunächst 



àU , dF ^ ÔU ,dF àU , dF 

 ^ ^ öx dx ' dy dy ' dz dz 



und 



düdUdü^dFdF^dF 

 dx' dy' dz dx' dy' dz' 



Die Gleichungen (33) drücken aus, dass die Kraftrichtung in der Gleichgewichtslage senkrecht 

 auf der Fläche steht. Führt man die Niveauflächen U(x,y,z) = Con?,t. ein, so kann man auch 

 sagen, dass die gegebene Fläche in einer Oleichgewichtslage die entsprechende Niveaufläche berührt. 

 Statt (31) werde künftig die einfachere Gleichung 



(34) ^ = /■(*, 2/) 



benutzt. Wie gewöhnlich setzen wir noch 



_dz _dz _ d'^z _ d'^z d^z 



^^ ~ dS ' * ~ d^ ' '' ~ d^ ' * ^ d^j 'dt' 



Bezeichnet man mit ô partielle Differentiationen in Bezug auf x und y, bei welchen z als eine 

 durch (34) definirte Function betrachtet wird, so erhält man für die Änderung .^CT" der Function 

 U{x,y,z), wenn man in der Fläche (34) fortschreitet, 



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