Stabilität des Gleichgewichtes eines Punktes. 9 



Die Krümmung wird hierbei positiv gerechnet, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der posi- 

 tiven ^-Axe liegt. Es ist jetzt 



àU.dUâzn^Q 

 öx dz dx ' 



d^ _mj_ d^., äHJfdzA' düd^ _ 

 dx^ '^ dxdz dx'^ dz^ \dx) "*" dz dx^ 



Aus der letzteren Gleichung verschwinden bei der getroffenen Wahl des Coordinatensystems 

 die beiden mittleren Glieder. Also ist 



und in derselben Weise 



Hiermit erhält man aus (40) 



dUl d^U , , „ dW . dW . , 



^''^ -d^^ = ^^<^^'" + 2^^cos«sm« + ^sm^«. 



Setzt man noch in (36) dx = dl cos a ^ dy= dlsma, so ergiebt sich auf Grund von (39) und (41) 

 als Fundamentalgleichung in der gegebenen Fläche 



2.^=f(i-i)*+.... 



Man ersieht aus dieser Gleichung, dass der im Art. 4 gefundene Satz bei stabilem 

 Gleichgewichte für jeden Normalschnitt der beiden Flächen gelten muss. Hat also die gege- 

 bene Fläche positive Krümmung und geht die Feldkraft nach der concaven Seite, so muss die 

 Niveaufläche ganz innerhalb dieser Fläche liegen. Ist die Feldkraft dagegen nach der convexen 

 Seite der Fläche gerichtet, so muss die Niveaufläche auf deren Aussenseite gelegen sein; ihre 

 Krümmung kann positiv. Null oder negativ sein. Hat die gegebene Fläche die Sattelform, so 

 kann die Niveaufläche auch diese Form besitzen, bracht es aber nicht, sie muss jedenfalls 

 ganz auf der entgegengesetzten Seite der gegebenen Fläche liegen im Verhältnis zu derjenigen, 

 nach welcher die Feidkraft hinweist. Überhaupt muss man, wie man auch einer beliebigen 

 Richtungslinie der Feldkraft in der Umgebung der Gleichgewichtslage im Sinne der Kraft folgen 

 mag, zuerst der gegebenen Fläche und dann der Niveaufläche begegnen. In allen anderen 

 Fällen ist das Gleichgewicht labil, bezw. indifferent. 



Beispiele beim Schwerkraftfelde, bei einem Punkt auf einem Ellipsoide, dessen Mittel- 

 punkt der Sitz einer anziehenden oder abstossenden Centralkraft ist, u. s. w. 



6. Zuletzt sei eine durch die Gleichungen 



(43) J-, (x,2/,2) = 0; F^{x,y,z) = Q 



N:o 3. 2 



