Stabilität der Bewegung in einer Schraubenlinie. 



19) 



Die allgemeine Lösung des Systèmes (Uj ist endlich 

 x = Ä-ir Ccoaxt-'r Dsinxt, 



y^B-'^^f^^^At + ^^-^'Dcosxt-Csin.t], 

 z=^E+Ft. 



Auch E und F sind kleine Grössen. 



4. Die Ausdrücke (19) zeigen, dass x, y und z hei allgemeinen Werten der Integra- 

 tionsconstanten mit wachsender Zeit nicht klein bleiben. Die ursprüngliche Bewegung ist also 

 nicht stabil in dem festgelegten Sinne. Ersetzt man aber die Bewegung in der gegebenen 

 Schraubenlinie durch eine andere derartige Bewegung mit den Gleichungen 



(20) 



r = ro + A, 



fiu) 



v\t, 



2 rpWo 

 Z=E^(lüi^ + F)t, 



so bleibt die Abweichung der gestörten Bewegung, mit den Gleichungen 



(21) 



r = y-Q -\- A-\- C cos xt -\- D sin xt, 



e^B+\œ,- ""' ~ f '^'''^ A\t^^~^{Dcosxt-G sin xt\ . 

 \ 2*00)0 I >'n^ ' '' 



t = E+a-oa,^F)t, 



von der Bewegung (20) stets klein. In der Terminologie von Routh ^) heisst die Bewegung 

 (20) eine stationäre PamUelbewegung zu der ursprünglichen Bewegung (3). Die gestörte Bewe- 

 gung besteht in kleinen Oscillationen um die Parallelbewegung, und der Vorgang könnte noch 

 in einem erweiterten Sinne als stabil bezeichnet werden. Damit die ursprüngliche Bewegung 

 in strengem Sinne stabil sei, müssen die die erste Potenz der Zeit enthaltenden Glieder in 

 X, y und z, die sog. seculären Glieder verschwinden. Hierzu ist es in unserem Falle erforder- 

 lich, dass A und F gleich Null werden. Die Schraubenlinie der Parallelbewegung ist dann 

 durch eine kleine Drehung um die t -Axe und eine kleine Translation längs dieser Axe aus 

 der gegebenen Schraubenlinie entstanden. Ihr Radius darf sich aber nicht ändern. Hierdurch 

 wird der anfanglichen Störung eine gewisse Beschränkung aufgelegt. Wir wollen speciell anneh- 

 men, dass sie in einem zur Zeit t = erfolgenden schwachen Stosse mit den Gomponenten 

 ^o',yo',Zi)' besteht. Dann ergiebt sich aus (19) mit ^ = und i^=0 noch C=0, E=0, ?/o' = 0, 

 Zo=0, sowie 



2«o^o'. 



(22) 



B = - 



D = 



Xn 



') E. J. Routh. A Treatise on the stability of a given State of motion, particularly steady motion, 

 London 1877, p. 47. 



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