", 



L 



>es dernières années ont donné naissance à plusieurs travaux remarquables ayant un rap- 

 port plus ou moins direct avec le célèbre théorème de M. Picard, relatif aux valeurs d'une 

 fonction monogène uniforme dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé. Les con- 

 tributions apportées successivement à ce théorème en ont encore augmenté l'intérêt et 

 l'importance, en le rattachant à des propriétés intimes d'un ordre plus général des fonctions 

 monogènes, propriétés qui se traduisent par certaines inégalités. 



Dans le présent travail, nous nous proposons de montrer que les propriétés en ques- 

 tion découlent d'un même principe simple et intuitif, qui ne paraît jamais avoir été formulé 

 explicitement. L'application systématique de ce principe nous conduira d'ailleurs à plusieurs 

 inégalités qui n'avaient pas été signalées auparavant ou qu'on n'avait pas présentées sous 

 leur forme précise, et nous fournira, avec une démonstration nouvelle du théorème général 

 de M. Picard, quelques propriétés intéressantes des fonctions monogènes intimement liées à ce 

 théorème. 



I. Principe général. 



1. Le principe général que nous avons en vue peut s'énoncer comme il suit: 



Dans le plan de la variable complexe x, concevons un domaine simplement connexe X 

 admettant une fonction de Oreen, en sorte qu'on peut le représenter sur l'aire d'un cercle, et soit 

 Z un autre domaine de même nature étendu sur le plan de la variable z. L'un quelconque de 

 ces domaines peut affecter la forme d'une surface de Riemann a plusieurs ou même a une infi- 

 nité de feuillets, mais nous admettrons ') que le point à l'infini ne fasse partie d'aucun d'eux, si 

 ce n'est comme point-limite. 



Soit, d'autre part, une fonction monogène f(x) jouissant des propriétés suivantes: 



(a) Elle est régulière à l'intérieur du domaine X. 



(b) Pj, étant un point d'affixe x^ situé à l'inférieur de X et z^ la valeur que prend en 

 ce point la fonction f(x), on peut trouver a l'intérieur de Z un point P^ d'affixe z^ tel que, 



') Cette hypothèse sert uniquement à faciliter l'exposition. Le théorème reste encore vrai si l'un 

 des domaines en question ou tous les deux renferment intérieurement le point à l'infini, comme on le voit 

 facilement en effectuant une inversion. Dans le cas où le domaine Z renferme le point à l'infini, il suffit 

 d'admettre, au lieu de la condition (a), que la fonction f{x) soit uniforme dans le domaine X et ne présente 

 d'autres singularités que des pôles. 



