4 Ernst Lindelöf. 



lorsque le point x, pariant de P , décrit dans le domaine X une courbe fermée quelconque, 



le point 



(1) ^ = f{oo), 



partant de P , décrive une courbe fermée comprise à l'intérieur du domaine Z. 



Désignons par G^ (x, x^^ la fonction de Green relative au domaine X qui admet P^^ 

 comme point critique, et par G^{z, -„) la fonction analogue relative au domaine Z et au point 

 P . Dans le voisinage des points critiques, ces fonctions peuvent respectivement se mettre sous 

 la forme ^) 



G^ {x, x^) = log j ^.r^ + H^ {x-x^, 



(2) 



Y^ (2 ) 



I ■^ ■'o I 



Yxi^() ^t fzX^a^ étant des constantes réelles et positives et H^(x — Xq), H^{z — z^ des fonctions 

 harmoniques s'annidant respectivement en même temps que x — x^ et z — z^. 

 Cela étant, on peut démontrer ces propositions: 

 1°. A tout point X du domaine X situé a l'intérieur de la courbe 



(3) G,,{x,x^) = ^, 



l'égalité (1) fait correspondre un point z du domaine Z intérieur a la courbe 



(4) 0^{z,z,) = k, 



A ayant une valeur positive quelconque. 



2". Si, pour une valeur donnée de l, à un certain point x de la courbe (3) correspond, 

 en vertu de (1), un point z situé sur la courbe (4), ces deux courbes se correspondront point par 

 point, et cela pour toute valeur de X; dans ce cas, la fonction f(x) donne aiiisi la représenta- 

 tion conforme du domaine X sur le domaine Z. Inversement, si l'égalité (1) donne la représen- 

 tation conforme des domaines X et Z l'un sur l'autre, on sait que, dans cette représentation, les 

 courbes (3) et (4) se correspondent point par point, quel que soit X. 



3". Enfin on aura l'inégalité^) 



(5) )'x(^o)l/"K)I^J'^(^o)' 



le signe d'égalité n'ayant lieu que dans les cas où la fonction f(x) donne la représentation con- 

 forme du domaine X sur le domaine Z. 



2. Pour faciliter l'exposition, nous admettrons que le domaine X ne se recouvre pas 

 lui-même. Nous pouvons alors écrire simplement x^ au lieu de P^. 



Il résulte de la condition (b) de notre théorème que, lorsque x jiasse du point x^ à 



') Si l'un des points P^ et P^ est un point de ramification, les formules (2) et (5) subissent des 

 changements dont nous parlerons dans le cours de la démonstration. 



T. XXXV. 



