Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 5 



un autre point x situé à l'intérieur du domaine X, le point ayant pour affixe z = f(x) passera 

 du point P^ à un certain point z intérieur au domaine Z qui sera le même quel que soit le 

 chemin suivant lequel le point x aura passé de sa position initiale à sa position finale, pourvu 

 (jue ce chemin reste compris dans le domaine A". En d'autres termes, l'égalité (1) fait corres- 

 pondre à tout point X intérieur au domaine X un point z et un seul intérieur au domaine Z. 

 En vertu de cette correspondance univoque, on peut considérer G^{z,Zq) comme une 

 fonction de x, que nous désignerons par G{x): 



Ö{x) = G^(f{x\z^). 



Cette fonction, qui est définie pour tout point à l'intérieur de X, est évidemment positive dans 

 ce domaine. 



Pour la démonstration, nous introduirons encore la fonction monogène F^iz.z^ dont 

 0^{z,Zç^ constitue la partie réelle, fonction qui est déterminée à une constante additive pure- 

 ment imaginaire près, et dont le développement dans le voisinage du point P^^ est de la forme 



(6) ^z^^> ^{) ^ 'og 1- une fonction régulière, 



Z — Zq 



en admettant que P, soit un point ordinaire de la surface Z. En vertu de la correspondance 

 (l), F^{z,z^) se transforme en une fonction de x, 



F{x) = F,if{x),z,), 



dont la partie réelle est évidemment égale à 0{x). 



Cela posé, soit x' un point quelconque du domaine X tel (lue le point correspondant 

 z' du domaine Z soit distinct du point P^. 



Si z' n'est pas un point de ramification pour la surface Z, la fonction F^{z,,-:^) peut 

 se développer suivant les puissances entières et positives de z — z'. Comme, d'autre part, 

 z — z'^f(x) — f{x'} peut se développer suivant les puissances entières et positives de x~x'. 

 il en sera de même de la fonction F{x) et, par suite, la partie réelle G(x) de cette fonc- 

 tion est une fonction harmonique régulière dans le voisinage du point x'. 



Si z' est pour Z un point de ramification d'ordre g, on peut développer la fonction 



1 

 F.^{!,z^ suivant les puissances entières et positives de {z — z')'^. Or il résulte de la condi- 

 tion (b) que, lorsque x fait le tour du point x\ le point correspondant z décrira autour du 



point z' une courbe qui se ferme sur la surface.^, en sorte que l'expression {z~z'Y repren- 

 dra sa valeur initiale. Cette expression étant par suite uniforme et régulière dans le voisi: 

 nage de x', il en est de même de F{x), et on arrive encore à cette conclusion que (?(/) est 

 une fonction harmonique régulière dans un certain voisinage du point x' . 



Soit maintenant x' un point de X auquel, en vertu de (1), correspond le point P^^ 

 du domaine Z, et admettons d'abord que P, n'est pas un point de ramification. En dévelop- 

 pant, dans l'équation (6), z — z^ suivant les puissances de x — x' et désigntint par n l'ordre de 



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