6 Ernst Lindelöf. 



la première dérivée de f{x) qui ne s'annule pas pour x = x', on trouve pour F{x) un dévelop- 

 pement de la forme 



F{x) = n log _ , + une fonction monogène régulière, 

 d'où 



(7) 0{x) = n log j n + ^^"6 fonction harmonique régulière. 



Si P^^ est pour la surface Z un point de ramification d'ordre q, on a dans le voisinage 

 de ce point 



(2)' G^{z,Zf) — ]og, : — ri + une fonction harmonique s'annulant pour z = ^q, 



1 L 



(6)' F^ (z, 5g) = log j^ "^i + '"i^ fonction régulière de (z — z^) « . 



Or nous avons déjà dit que, dans l'hypothèse actuelle, l'expression 



iz-z/^{f(x)-f{x')f 



est régulière au point x'. En supposant qu'elle admet ce point comme un zéro d'oi'dre n, on 

 retrouve encore le résultat (7). 



En résumé, nous avons donc trouvé que G{x) définit dans le domaine X une fonction 

 harmonique uniforme et positive, n'admettant d'autres singularités que les points x' auxquels, en 

 vertu de (1), correspond le point P^ du domaine Z. Dans le voisinage d'un point x', cette fonc- 

 tion devient infinie comme l'expression log j n midtipliée par un certain entier positif. 



3. Ceci établi, nous ferons voir (lue l'inégalité 



(8) Ö{x)^G,^ix,x^) 



est vérifiée pour tout point x pris à l'intérieur du domaine X. 

 A cet effet, considérons la différence 



(9) D(x) = G (x) - G^ {x, x^ , 



(jui définit dans X une fonction harmonique uniforme ayant les mêmes points singuliers que 

 G{x), sauf qu'elle est régulière au point x^ dans le cas où ce point est un zéro simple i)0ur 

 f{x) — f(x^), ou pour la racine g'^'"" de cette expression si P^ est un point de ramification 

 d'ordre q. 



Si notre assertion n'était pas vraie, la limite inférieure de D{x) dans le domaine X 

 serait négative; désignons-la par — L. D'après un théorème bien connu, on pourrait alors 

 trouver, à l'intérieur du domaine X ou parmi ses points-limites, au moins un point tel que la 

 limite inférieure de D(x) fût égale à. —L dans toute portion de A' qui le renferme à l'in- 

 térieur. Soit P un point jouissant de cette propriété. 



T. XXXV. 



