Sur eertaines inégalités dans la théorie des fondions. 7 



Le point P est nécessairement situé à l'intérieur tlu domaine X. En effet, x étant un 

 point-limite quelconque de ce domaine, il résulte de la propriété fondamentale de la fonction 

 de Green que G^(x,Xf) tend uniformément vers zéro lorsque x tend vers x en restant à l'in- 

 térieur de A'. Comme G(x) est positive, la limite inférieure de D{x) sera donc plus grande 

 que —L dans la portion de X comprise dans un cercle suffisamment petit ayant x pour cen- 

 tre, ou, si a; = oo, dans la portion de X qui est extérieure à un cercle de rayon suffisamment 

 grand ayant son centre à l'origine. 



D'autre part, P ne peut pas être l'un des points singuliers de D{x), puisque cette 

 fonction, d'après ce que nous avons démontré au n" 2, est positive et d'ailleurs aussi grande 

 qu'on voudra dans un voisinage suffisamment restreint de l'un quelconque de ces points. 



Donc la fonction D{x) est régulière au point P et prend par suite en ce point la 

 valeur —L. 



Nous sommes ainsi arrivé à cette conclusion que la fonction harmonique D(x) atteint 

 sa limite inférieure — L dans le domaine X en un point P où elle est régulière et qui est 

 situé à l'intérieur du domaine. Or il résulte d'une propriété fondamentale des fonctions 

 harmoniques que ceci n'arrive que dans les cas où la fonction en question se réduit à une 

 constante, et l'on devrait donc avoir D{x) = — L pour tout point x pris à l'intérieur du do- 

 maine X Mais nous avons vu plus haut que cette égalité ne saurait subsister dans un voi- 

 sinage suffisamment restreint d'un point-limite de ce domaine ')• Cette contradiction prouve 

 l'exactitude de notre assertion. 



4. A l'aide de l'inégalité (8), on démontre facilement; les différentes propositions énon- 

 cées au n° 1. 



Nous ferons d'abord observer que, en vertu des propriétés connues de la fonction de 

 Green, on a G^ix,x^~:>X à l'intérieur et 0^(x,x^<.X à l'extérieur de la courbe (3), et que 

 la fonction G^{z,z^) jouit des propriétés analogues par rapport à la courbe (4). 



Ayant fixé un point quelconque x' à l'intérieur de la courbe (3), on aura donc 

 G ^{x' , x^ y k et par suite, d'après (8), G{x')>l. Mais G {x') = G ^{z' , z^ , z' désignant le point 

 du domaine Z qui correspond au point x' en vertu de (1). On aura donc Gy{z\z^':>X, inéga- 

 lité qui signifie que le point z' est situé à l'intérieur de la courbe (4), et la première de nos 

 propositions se trouve ainsi démontrée. 



Soit maintenant x' un point de la courbe (3), en sorte que G^{x\x^ = k, et admettons 

 que le point correspondant z' soit situé sur la courbe (4), c'est-à-dire que G^^ (2', ^p) = A. On 

 aura aussi G {x') = 1 &t par suite, d'après (9), D {x') = 0. La limite inférieure de la fonction 

 D{x) dans le domaine X est donc égale à zéro, puisque la fonction ne devient jamais néga- 

 tive, et cette limite est atteinte en un point régulier de D{x) situé à l'intérieur du domaine. 

 Il en résulte, d'après le théorème dont nous nous sommes déjà servi au n" 3, qu'on a pour 

 tout point x à l'intérieur de X l'égalité Z)(a;) = 0, ou bien 



(10) G{x) = G^{x,x^. 



') Le domaine X admet nécessairement des points-limites, puisque, par hypothèse, on peut le repré- 

 senter sur l'aire d'un cercle. 



