8 Ernst Lindelöf. 



Donc, quel que soit A, les points z correspondant aux différents points de la courbe (3) feront 

 tous partie de la courbe (4). 



Pour prouver que, dans l'hypothèse actuelle, ces deux courbes se correspondent point par 

 point et que la fonction fix) donne la représentation conforme du domaine X sur le domaine 

 Z, nous nous servirons de la fonction monogène F^{x,x^ dont Qy-{x,x^ est la partie réelle. 

 G{x) étant partie réelle de F{x)^ il résulte de l'égalité (10) que la partie réelle de la diffé- 

 rence F{x) — F^{x,x^ s'annule identiquement dans X et que, par suite, cette différence se 

 réduit à une constante purement imaginaire. En choisissant convenablement les constantes 

 additives qui figurent dans F^(x,x^ et F^iz, .-„), on peut d'ailleurs égaler cette constante à 

 zéro, et on aura alors identiquement 



(11) F{x) = F^{x,x^. 



Il résulte de la théorie de la fonction de Green que, lorsqu'on fait parcourir au point x 

 la courbe (3) dans le sens direct, la partie réelle de i -^^(a;,«;^) ira constamment en croissant et 

 que son accroissement total sera égal à 2sr lorsque a; sera revenu au point de départ. D'après 

 (11), il en est de même de la partie réelle de iF(x), et, en se rappelant la définition de la 

 fonction F{x), on voit donc que, lorsque x décrit la courbe (3) dans le sens direct, le point corres- 

 pondant z du domaine Z se déplacera suivant la courbe (4) de telle manière que la partie réelle 

 de iF^iZjZ^) aille constamment en croissant et que son accroissement total, lorsque x re- 

 vient au point initial, soit égal à 2 sr. Mais cela veut dire que le point z, sans s'arrêter, fait 

 une fois le tour de la courbe (4) dans le sens direct. Les courbes (3) et (4) se correspondent 

 donc point par point, et, comme ceci a lieu pour toute valeur de A, il en est de même des 

 domaines X et Z. Par suite, la fonction f{x) donne bien la représentation conforme du do- 

 maine X sur le domaine Z, comme l'exige la seconde partie de notre théorème. 



Pour démontrer la dernière partie du théorème, cherchons la valeur que prend la 

 fonction I>{x) au point x^, en admettant d'abord que P^^ soit un point ordinaire de la surface 

 Z. En substituant dans la seconde des égalités (2) 



on trouve, sous la condition f'(xQ)^0, pour G{x) un développement de la forme] 



^'"'MMii^^h"'"-"''- 



H(x — Xq) étant une fonction harmonique qui s'annule pour x = Xq. De cette égalité et de la 

 première des égahtés (2) on conclut que, dans l'hypothèse actuelle, la fonction D{x) est ré- 

 gulière au point x^ et qu'elle y prend la valeur 



T. XXXV. 



