Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 9 



Cette valeur devant, d'après le n" 3, être supérieure ou égale à zéro, il en résulte bien 



}'x(^o)l/"'(a;o)l^}'z(^o). 



et ce résultat reste évidemment vrai si l'on supprime la condition f'{x^^O. 



Si l'égalité a lieu, on a D(x^] = 0, et nous avons vu plus haut qu'il en résulte forcé- 

 ment que la fonction f{x) donne la représentation conforme du domaine X sur le domaine Z. 



Si P^^ est pour Z un point de ramification d'ordre q, le développement de G^(^, ^„) 

 dans le voisinage de ce point est de la forme (2)' et, d'autre part, on a 



^-^o=%^(^-^/ + ' 



On en conclut 



ÖK) = log- 



î'z(^o) 



/xC^o) 



flpÀ 



1^ ' 



de sorte que l'inégalité (5) sera remplacée par la suivante 



(5)' 



y^C^o) 



fi.x,) 



<r^{^^. 



Notre théorème se trouve ainsi démontré dans toutes ses parties. 



Nous ferons encore remarquer que l'inégalité (5) n'est qu'un cas-limite de la première 

 partie du théorème. En effet, d'après les égalités (2), l'équation de la courbe (3) peut se mettre 

 sous la forme 



(3)' k-^'ol = rvK)«~'(i + *i(!)) 



et celle de la courbe (4) sous la forme 



(4)' 



\'~h\=rziZo^e-'[\+.^_[\)], 



«j et f., tendant vers zéro en même temps que ^ . Si x' est un point de la courbe (3) et z' 

 le point correspondant du domaine Z, on aura 



z'-z,=^ f(x') - f(x,) = r {X,) (x' - a;„) + • • . , 



et d'après (3)' on en conclut, en supposant f'(x^^O, 



\z'-^^\ = \f'(x^\yJx^e-'[l + .[]^), mTi^.(;) = 0. 



Or il résulte de la première partie de notre théorème que le point z' est situé à l'intérieur 

 de la courbe (4)' ou sur cette courbe, et comme ce résultat reste vrai quelque grand que soit 

 A, il faut bien qu'on ait l'inégalité (5). 



5. Le domaine Z est défini, dans chaque cas donné, par les conditions imposées à la 

 fonction f(x) dans le domaine X et qui, dans les applications qui suivent^ porteront tantôt 



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