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Ernst Lindelöf. 



sur le module ou l'argument de cette fonction, tantôt sur sa partie réelle ou imaginaire, tan- 

 tôt sur les valeurs que la fonction ne doit pas prendre à l'intérieur du domaine. 



Quant au domaine X, nous supposerons le plus souvent que c'est un cercle ayant son 

 centre à l'origine. En désignant le rayon de ce cercle par R et par x^ l'affixe d'un point in- 

 térieur, on a 



1 IH^ — xXq 



(12) 





la X — Xn 



= l0g| 



B x — x„ 



U^ 



Xq désignant le nombre conjugué de x^ et x^ étant égal à -=, c'est-à-dire à l'affixe du point 



conjugué de x^ par rapport à la circonférence du cercle X 



De la seconde des expressions données ci-dessus on conclut immédiatement 



(13) 



rx^^ù- 



R' 



R 



et la première de ces expressions nous montre que la courbe G^(x,Xq) = X est actuellement 

 un cercle ayant pour équation 



x — x^: 



X x~ 



E 



x„ 



e\ 



Pour A = 0, ce cercle se confond avec X et, pour A = oo, il se réduit au point x^; si a'o = 0, 

 il est concentrique avec X et son équation devient 



\x\=Re-^. 

 L'inégalité (5) prend actuellement la forme 



(14) 



^-^\ri^o)\^ïzih)- 



On peut interpréter ce résultat de différentes manières. En remplaçant x^ par x et 

 2f, par f{x), on en tire d'abord pour le module de la dérivée f'{:x) l'inégalité 



(15) 



R 



i.r(^)i^irfW''^(/'(^))- 



Cette inégalité est donc vérifiée dans le cercle \x\<iR pour toute fonction monogène qui y 

 jouit des propriétés (a) et (b) de notre théorème général. 



Lorsque la fonction f{x) donne la représentation conforme du cercle \x\-^R sur le 

 domaine Z, et seulement dans ce cas, l'inégalité se change en égalité, en sorte qu'on aura 



/"(^)l 



R 



' R^-\x\- 



Yz(^)i 



X et z étant deux points quelconques qui se correspondent dans la représentation conforme. 

 Cette formule permet de calculer l'agrandissement linéaire de la représentation en un point 

 donné x dès qu'on connaît le point correspondant z. 



T. XXXV. 



