Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 11 



D'autre part, en résolvant (14) par rapport à B, on en conclut 



Le second membre prend une valeur finie et déterminée dès qu'on fixe les valeurs des quan- 

 tités a'o, 2'o = /'(;Po' ^t \f'(xQ)\, pourvu que f'(x^)^0. Cette valeur fournit ainsi une limite supé- 

 rieure pour le rayon d'un cercle, ayant l'origine comme centre, dans lequel une fonction monogène 

 f(x) prenant au point donné x^, ainsi que le module de sa dérivée, les valeurs fixées ci-dessus, 

 pourra vérifier les conditions (a) et (b) de notre théorème. Il n'existe donc pas de fonction 

 jouissant de toutes ces propriétés dans un cercle ayant l'origine pour centre et dont le rayon 

 est supérieur à la limite en question. Mais, par ce qui précède, nous savons que cette limite 

 peut être réellement atteinte, et que ceci a lieu pour les fonctions qui donnent la représenta- 

 tion conforme du cercle X sur le domaine Z, et seulement pour ces fonctions. 



Soit en particulier x^ = 0, et admettons que le développement de la fonction f(x) dans 

 le voisinage de l'origine commence par les termes 



f{x) = Uf^ + a^x -{-■■■ 



et (jue «,7^0. Dans ce cas, l'inégalité (16) se simplifie et devient 



(16)' . BK'-f^. 



II, Inégalités diverses tirées du principe général. 



6. Comme première application du principe que nous venons d'établir, nous allons 

 démontrer cette proposition: 



Si, dans le cercle \x\<C.B, la fonction ynonogène 



f{x) = a,^-\-a^x-\ 



est régulière et son module inféiieur à M, on a pour tout point x pris à l'intérieur de ce cercle 



(1) mx)\^^L^M, 



^ M R 



et le rayon du cercle est assujetti à l'inégalité ') 



') L'inégalité (3) avait déjà été établie par M. Landau dans son Mémoire: Über den Picard' sehe» 

 Satz {Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Jahrgang 51, 1906, p. 304). 



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