12 Ernst Lindelöf. 



U autre part, si a^^Q, le modtde de chaque zéro de la fonction f{.r) est supcrieur ou égal 

 à la limite -?J.- B '), e^ ^e modide de la fonction vérifie Vinégalité 



I "o I I a^ I 



(4) I A^)l ^ ^T^j^^ ^"^^ I^K ^^^ 



Pi((s généralement, si la fonction f{x) ne s'annule jjas pour une certaine valeur x^ de module in- 

 férieur à B, elle est différente de zéro dans le cercle 



f(Xo)[ -^ 



1 



^ R M 



et par suite, h 2>ltis forte raison, dans le cercle 



I^-^o|<-t(-^-1^oI)- 



Les limites indiquées ci-dessus sont les plus ■précises qu'on puisse établir dans les condi- 

 tions données, et ne sauraient être atteintes que dans les cas où la fonction f(x) donne la repré- 

 sentation coîiforme du cercle j a; | < JB sur le cercle \z\^M. 



En vertu des conditions imposées à la fonction f(x), nous devons choisir comme do- 

 maine Z le cercle \z\^M, et nous avons donc, d'après les formules (12) et (13) du n" 5, 



M z — Zf^ 





yz(^o)=' 



M 



Zq désignant le point conjugué de z^ par rapport à la circonférence \z\ = M. Les formules 

 (15) et (16)' du n" 5 nous fournissent dès lors directement les inégalités (2)=^) et (3). 



») Ce résultat s'obtient avec la même facilité à l'aide du théorème conmi de M. Jensen; voir la 

 Note de M. Landau: Sur quelques théorèmes de M. Petrovitch relatifs aux zéros des fonctions anali/tiqucs {Bulle- 

 tin de la Société mathématique de France, t. XXXIII, 1905). 



-) L'inégalité (2) entraîne comme conséquence la suivante qui est plus simple 



En simplifiant davantage, on en conclut l'inégalité 



qui s'obtient d'ailleurs facilement par une voie plus directe. 



T. XXXV. 



