Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 13 



Si l'on pose ^-'0 = 0, d'où -~o = /'(0) = «q, les formules (3) et (4) du n" 1 deviennent respec- 

 tivement 



(6) \x\==Be-'- 

 et 



(7) ^=~e\ 



\^-~%\ roi 



Oq étant le point conjugué de a^ par rapport à la circonférence \z\ = M. 



Si a:; est un point de la circonférence (6), le point correspondant z = f(.r), d'après notre 

 principe général, sera situé à l'intérieur de la circonférence (7) ou sur cette circonférence. 



La plus grande distance de la circonférence (7) à l'origine étant égale à 



I^ + e-A 

 M ^^ 



l + KIg-i 



M, 



on en conclut d'abord l'inégalité (1). D'autre part, en observant que la circonférence (7) passe 

 par l'origine si X vérifie la condition e^ = , — ;, et que l'équation (6) devient alors |x-| = '-^i2, 



on voit que, dans le cas où «„t^O, la fonction /'(x) ne s'annule pas pour |a;|<'", i?. Pour 



,g-^„, ,a luiiction f(x) ne s'annule pas pour |a;|< "] 



une valeur plus grande de l, l'origine est située à l'extérieur de la circonférence (7), lît sa 

 plus courte distance de cette circonférence est égale à 



d'où l'inégalité (4). 



Admettons enfin que f{x) ne s'annule pas pour une certaine valeur x^, distincte de 

 et de module inférieur à R. La circonférence 0^{z,z^ = l passera par l'origine si l'on déter- 



j il/ 



mine l de sorte que e =r^., et l'équation Q^{x,x^ = l s'écrit alors 



R M 



l^oll'^oT 



La plus courte distance du point x^ à cette dernière circonférence étant égale à 



1 .L^ifoJ ^ ^' 



^' R M 



il résulte bien de notre théorème général que f{x) ne s'annule pas dans le cercle (5). 



7. Admettons en second lieu que la partie réelle de fix) soit inférieui-e à une cer- 

 taine constante A dans le cercle \x\<R où la fonction est supposée régulière. Le domaine .2^ 

 sera le demi-plan situé à gauche de la parallèle à l'axe imaginaire passant par le point z = A. 



N:o 7. 



