Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 



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Si la fonction monogene f(x) = U-\- i V est régulière et sa partie réelle U inférieure à la 

 constante Ä dans le cercle \x\<^R, on aura, en posant f{0) = a^ = ag-\-ißQ, f'{0) = a^, pour tout 

 point X pris h Vintérieur de ce cercle, les inégalités suivantes: 



\n-)\ ^ rf^(^-«o) +l/(«o-^lq^(^-«o)^^o^ 



2|x| 





et le ration du cercle vérifie la condition 



= |o, I 



Dans l'un quelconque de ces résultats, le signe d'égalité ne saurait se présenter que lors- 

 que la fonction f{x) donne la représentation conforme du cercle ja;|^-ß sur le demi-plan Z. 



La première des inégalités écrites ci-dessus entraîne comme conséquence la suivante, 



qui est plus simple mais moins précise: 



Cette inégalité, ainsi qu'une inégalité pour 'Z7| qui rentre dans celles ([ue nous ilonnons 

 ci-dessus, avait déjà été trouvée par M. Carathéodory '), en précisant les résultats obtenus 

 antérieurement dans la même voie par MM. Hadamard et Borel. 



8. Supposons maintenant que, dans le cercle |a^!<ii, la fonction f{x) soit régulière 

 et différente de zéro et son argument numériquement inférieur à une certaine (quantité posi- 

 tive G. Pour simplifier, nous supposerons d'abord /'(0) = 1. 



Comme domaine Z nous devons prendre l'angle compris entre les deux rayons issus 

 de l'origine tjui forment respectivement les angles cr et — ff avec l'axe réel positif. Par le 

 changement de variable 



t = z^% 



ce domaine se trouve représenté sur le demi-plan situé à droite de l'axe imaginaire, et à 

 l'aide de cette représentation on trouve facilement, en désignant par z^ le point symétrique 

 de z^ par rapport au rayon d'argument ff. 



G'zC^'^oi^log 



et 



>.2<T_ 



lia 



Z2c_^2a 



y^ K) = V 1^0 1^08(2"^ arg .?o). 



' L I • R A R Y 



') Voir le Mémoire de M. Landau: Beiträge zur analytischen Zahlentheorie (Rcndiconti del Circolo M' 



Matematieo di Palermo, T. XXVI, 1908, p. 191—194). 



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