Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 



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9. Supposona toujours la fonction f(x) régulière et différente de zéro dans le cercle 

 x\<.R, mais admettons cette fois que c'est le module f(x)\ qui dans ce cercle reste au- 

 dessous d'une limite finie, que nous désignerons par M. 



f ix) 



Dans ce cas, l'expression log '-f— définit pour | .r | < i2 une fonction monogène régu- 



f'fl) 



M 



lière, dont la partie réelle est inférieure à la quantité finie log r^^^, et qui s'annule à l'ori- 

 gine, si l'on choisit la branche principale du logarithme. Nous pouvons donc appliquer di- 

 rectement les résultats trouvés au n° 7, en y substituant 



\f{x) 



C^= log 1^.(0) 



ï' = argL_, ^ = iog^^^^, 



«o = /'û = 0, 



et nous arrivons ainsi au théorème suivant: 



Si, dans le cercle |a;|<;i2, la fonction monogène 



f(x) = aQ + a^j:-\ 



est régulière et différente de sera, et son modide inféneur a une quantité finie M, on aura, pour 

 tout point X pris a Vintérieur de ce cercle, les inégalités ') 



log 



fix) 



Ml 



Oo I 



ll-\x\ 



< 



< 





fix) 



<|M 



2,x| 



log 



I fix)\ ^ 2B|a;| 



Q vor ' '■ ' ■C ! 1 



rm^^èm^ 



et le raxjon du cercle est sujet à la condition 



R<2\ 



\xr- 



los 



Ä-f 1*1 

 M 



kol' 

 /■(x)|' 



M 



La dernière inégalité peut s'écrire 



(10) 



-1-1« 

 If ^ ' «Q I e 2 1 "• I , 



et, sous cette forme, elle met en évidence ce fait important qu'une fonction entière de x qui 

 ne s'annule pour aucune valeur finie de cette variable, et dont le module croit moins vite que 

 l'exponentielle e"''^, quelque petit qu'on se donne le nombre positifs, se réduit nécessaire- 

 ment à une constante. En effet, x^ étant une valeur finie quelconque, le maximum de 

 \f{xQ-\-Ee"^')\ pour i)<(p^2st sera, d'après (10), supérieur ou égal à la quantité 



1 I f M \ j, 

 \fix^)\e^\n^>)\ 



') Une inégalité analogue à la première de celles que nous donnons ici, mais moins précise, a été 

 signalée par M.^Sciiottkv, dans un Mémoire intitulé: l'hcr den Picard'schen Satz nnd die BoreV schen Vn- 

 gleichungen {Sitzungsberichte der Kün. Preussischen Akademie der Wissenschaften , XLIl, 1904, p. 1247). 



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