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Ernst Lindelöf. 



pour toute valeur B. Or ceci n'est compatible avec l'hypothèse admise relativement à la 

 croissance de la fonction f(x) que si l'on a f''(x^ = 0, et, comme ce résultat doit avoir lieu 

 pour toute valeur x^, fix) se réduira bien à une constante. 



Il en résulte d'ailleurs immédiatement ce fait plus général qu'une fonction entière 



f{x) qui n'admet qu'un nombre fini de zéros, x^,x^, ,x^, et dont le module croit moins vite 



que e^'""', quelque petit que soit f, se réduit à un polynôme. Car le quotient 



{x-x,) (x - a-,); --{x- xj 



est alors une fonction entière sans zéros dont le module croît moins vite que e^'"^', et se ré- 

 duit par suite à une constante. 



10. A titre d'exemples, nous citerons encore les résultats suivants: 

 En posant x = ^-\-ir], prenons comme domaine X la bande B définie par les inégalités 

 — h<,^^h. Si XQ = S^ + iriQ est un point à l'intérieur de cette bande, on aura 



G^ (x, x^) = log 



TT ix TT i (j-0 — 2 ^o) 



e" 2 A +e 2» 



TT ij; JTiXo 



ih 



. tIo 



)'ä-^^o) = ^cosv 



En particulier, pour ^^ = 0, l'équation G^{x,Xq) — 1 s'écrit 

 (11) 



TT '/ TT t/ 



e2h + e 2;. 



TT? 



„2H 



o TT t ^i: A 1 



2 cos 2I e - 1 



Si l'on suppose que, dans la bande B, la fonction f(x) soit régulière et son module 

 inférieur à M, on aura pour tout point x à l'intérieur de cette bande l'inégalité 



jr M'--\f(x)\-' 



\f'(^)\^ 



d'où il résulte, pour ^ = 0, 



4 h cos %4^ 



M 



h< 



M^ 



i\a,\ 



M 



et, si X est à l'intérieur de la courbe (11), le point z = f{x) sera compris à l'intérieur de la 

 circonférence (7). En particulier, si %^0, on peut affirmer que f(x) ne s'annule pas à l'in- 

 térieur de la courbe 



TT f/ ff V 



e2Ä + e~27r 



2 CCS 



TT^ 



M''- + \ao l"- 



Si l'on ajoute la condition que fix) ne doit pas s'annuler dans B, on aura pour tout 

 point x compris dans cette bande 



!/-'(-)l^^™iloR ^ 



cos 



d'où 



— i I flj 



îi ^ I fi^) I ' 



1 ^ 



T. XXXV 



