<S'«/- certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 19 



f(x) 



et, ai le point x est situé à l'intérieur de la courbe (11), le point dont l'affixe est 2' = log^-^-^ 

 sera compris à l'intérieur de la circonférence 



^^ — 2 log i — T 



z 



= e 



f (x) 



pourvu ^iu'on prenne la déteiinination de log —^— qui s'annule pour x = 0. 



11. En terminant ces applications, qu'il serait fiicile de multiplier, nous dirons quel- 

 iiues mots des cas où le domaine Z renferme à l'intérieur des points de ramification. Cette 

 circonstance se présentera si l'on suppose qu'il existe certaines valeurs, «, , a^, ■••, a^, telles 

 que l'ordre de chaque zéro de la différence f{x)~a^, situé à l'intérieur du cercle donné X soit 

 un multiple d'un certain entier positif n^, de sorte que les expressions 



{fix)-a^)"', if{x)-a^"', , {f{x)-a^''ß 



soient toutes uniformes et régulières dans ce cercle. 



Dans ces conditions, le domaine Z sera une surface de Riemann à une infinité de 

 feuillets, admettant chacun les points «j, a^, ■ • • , a^ comme points de ramification d'ordres 



Dans les cas oii cette surface Z admet une fonction de Green, en sorte qu'on peut 

 la représenter sur un cercle, les résultats établis dans la première partie de ce travail sont 

 immédiatement applicables, et en particulier, si l'on demande (pie la fonction f(x) et sa déri- 

 vée prennent respectivement à l'origine les valeurs données «„ et a^, le résultat (16)' du n" 5 

 nous fournit le rayon du plus grand cercle dans lequel cette fonction pourra jouir des proprié- 

 tés indiquées ci-dessus. 



Les résultats auxquels on parvient ainsi avaient déjà été signalés par M. Carathéo- 



DORY 1). 



III. Théorèmes relatifs aux valeurs d'une fonction monogène dans le 

 voisinage d'un point singulier essentiel. 



12. Admettons que la fonction monogène f\x) soit régulière dans le cercle |£c|<jB, 

 et qu'il existe au moins deux valeurs finies distinctes qu'elle ne prend pas à l'intérieur de 

 ce cercle. Pour simplifier, nous supposerons deux de ces valeurs égales respectivement à 

 et à 1, ce qui ne constitue pas une restriction essentielle. 



Le domaine Z doit être tel que toute courbe qui se ferme dans le plan des z et qui 

 ne comprend à l'intérieur aucun des points 0, 1, oo, se ferme également sur Z. Inverse- 

 ment, il est permis de supposer que toute courbe fermée qu'on pourra tracer dans le domaine 

 Z, ne renferme intérieurement aucun desdits points. Ce domaine sera alors une surface de 

 Riemann à une infinité de feuillets, chaque feuillet admettant comme points de ramification 



') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. 141, 1905, p. 1213 — 1215, et t. 144, 1907, 

 p. 1203—1206. 



N;o 7. 



