20 Ernst Lindelöf. 



d'ordre infini les puints 0, ], co et n'admettant pas d'autres points de ramification. Les 

 trois points en question sont les seuls points-limites du domaine. 



Désignons par t^v{z) la fonction monogène qui donne la représentation conforme du 

 demi-plan situé au-dessus de l'axe réel sur l'aire du plan de la variable t^u + iv limitée par 

 les demi-droites m = 0, y>0 et u = \, v^O, et par la moitié supérieure de la circonférence 



(u — ^)+v^ — T, de telle sorte que les points ^ = 0, 1, oo correspondent respectivement aux 



points t=^0, 1, 00. Il résulte d'un principe bien connu de la théorie du prolongement analy- 

 tique que, par cette même fonction v (s), la surface Z se trouve représentée tout entière sur 

 le demi-plan T situé au-dessus de l'axe réel. 



Prenons à l'intérieur du cercle \x\<CB un point x^, posons Zf^ = f{XQ), et marquons sur 

 un feuillet déterminé de la surface Z le point P^^ dont l'afflxe est égale à z^. Désignons en- 

 core par tQ^v{z^) la valeur que prend en ce point la fonction v(z), et par ^^rf^-g) la va- 

 leur conjuguée. 



Cela posé, on trouve immédiatement que la fonction de Green relative au domaine T 

 et au point /„ s'écrit 



En vertu de l'égalité t = v(z), qui donne la représentation conforme des domaines T et Z l'un 

 sur l'autre, cette expression se transformera en la fonction de Green relative à la surface Z 

 et au point P, ; nous trouvons ainsi, en conservant la notation adoptée dans la première 

 partie de ce Mémoire, 



(1) 0^(2, ^o> = log 

 et ensuite 



(2) Yz (^o) = 



v{z)-v (Z q) 

 v{z)-v (^o) 



'^v{z) désignant la partie imaginaire de v(z). 



Gomme Z est une surface régulière, c'est-à-dire composée de feuillets identiques, il est 

 évident que la fonction G^(z,Zf), considérée dans le plan de la variable z, sera identiquement 

 la même quel que soit le feuillet de la surface Z sur lequel on aura marqué le point P^^. En 

 d'autres termes, l'expression donnée ci-dessus pour G^{z,Zq) restera la même, quelle que soit 

 la branche de la fonction v(z) qu'on regarde comme attachée au feuillet dont fait partie le 

 point P , et il en résulte que, dans l'expression de Yz^^i), ü est également permis de choi- 



i'o 



sir pour v(z) l'une quelconque des différentes branches de cette fonction. 

 Pour toute valeur positive du paramètre X, l'équation 



représente une courbe qui se ferme sur la surface Z et (|ui, par suite, laisse à l'extérieur 

 chacun des points 0, 1, oo. Nous désignerons par M^(e ,Zq) la plus grande et par m^ic l'o-' 

 la plus petite distance de cette courbe à l'origine, et par m^{e~ ^z^) sa plus petite distance 

 du point ^=1. Les quantités !/(,, m^ et rn^, qui ne dépendent que de / et de z^, sont des 



T. XXXV. 



