<S'(f/- certaines inégaliic's dans la iiu'oric dc)> fondions. 21 



fonctions continues et positives dont la première va en croissant et les deux autres vont en 

 décroissant lorsque e^'' augmente. Pour e~'' = l, on a il/o = co, mg = m^ = 0. 



En appliquant notre principe général, nous arrivons donc aux résultats suivants: 



Si la fonction monogène 



f(x) = a^ + a^x + a^aß-l 



est régulière et différente à la fois de et de 1 dans le cercle \x\<C.Ü, on a pour tout point x 

 pris à Vintérieur de ce cercle les inégalités suivantes 



IA«')l^^o(^''.«o), 

 \fi^)\^nv,(^-i,a,), 



\f(x)-l\^m,(^-^,a,), 



où le signe d'égalité ne saurait se présenter que lorsque la fonction f(x) donne la représentation 

 conforme du cercle ] a; | < -B sur la surface Z. 



En faisant x = 0, la dernière de ces inégalités devient 



B< 



33r(ao) 

 a, v' (flo) 



Une fonction monogène f(x) qui prend à l'origine la valeur a^ et dont la dérivée y est égale h a^, 

 ne saurait donc être à la fois régulière_et différente de et de l dans un cercle ayant l'origine 

 comme centre et dont le rayon R est supérieur a la limite indiquée ci-dessus. Mais B peut effec- 

 tivement atteindre cette limite, et ceci a lieu dans les cas ott la fonction f(x) donne la représenta- 

 tion conforme du cercle 



sur la surface Z. 



2 3i>(ao)| 



a, v' (oo) 



La première des inégalités écrites ci-dessus nous apprend que, si f{x) est une fonction 

 monogène iiuelconque qui soit régulière et différente de et de 1 dans le cercle \x\<iB,'ß,l 

 qui prenne à l'origine la valeur donnée a^, et si -K' est une quantité positive' inférieure à -B, 

 il existe un nombre positif fini ilf, ne dépendant que de la valeur a^ et du rapport g-, tel qu'on 

 ait \f(x)\<iM pour \x <iW. Ce résultat est dû à M. Schottky ^). 



La dernière partie de la proposition que nous venons d'établir constitue le célèbre 

 théorème de M. Pigabd, sous la forme définitive que lui ont donnée MM. Landau ^) et Cara- 



THÉODORY '■). 



') Voir le Mémoire cité page 17, ainsi que le Mémoire de JML. Landau cité page 11. 



-) Vher eine Verallgemeinerung des Pieard'schen Satzes {Sitzungsberichte der Eon. Prenssischen Akademie 

 der Wissenschaften, XXXVIII, 190i, S. 1118—1133). Voir aussi le Mémoire du même auteur cité page 11. 



^) Sur quelques généralisations dît théorème de M. Picard (Comptes rendus des sfcmces de l'Académie des 

 Sciences, t. 141, 1905, p. 1213—1215). Voir aussi le Mémoire de M. Laxd.-^u cité liage 11. 



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