22 Ernst Lindelöf. 



13. Prenons maintenant comme domaine X le demi-plan situé à droite de l'axe ima- 

 ginaire, et admettons ([ue, à l'intérieur de ce demi-plan, la fonction monogène f{x) soit régu- 

 lière et différente de et de 1. 



Posons x = ^-\-iri, et désignons par x^^^^^^ + ii^^ l'afflxe d'un point situé à l'intérieur 

 de X; on aura 



Ö ,, {X, X.) = log i """.^.""if'i I 

 et 



La courbe G^{x,x^) = l, dont l'équation s'écrit maintenant 



x-{ir]a- lo) 

 X- {irio + lo) 



■■e\ 



est un cercle ayant pour centre le point 

 et pour rayon 



En vue des applications qui suivent, nous ferons remarquer que la cii-conférence de ce cercle 

 coupe la parallèle à l'axe imaginaire passant par x^ en deux points, situés de part et d'autre 

 du point Xg à la distance 



2|„ 



(3) 



Ve^^-l' 



Le domaine Z sera la surface de Riemann déjà considérée au n" 12, et les fonctions 

 0^{z,Zq) et Yzi^o^ seront donc données par les expressions (1) et (2). Par suite, l'inégalité 

 (15) du n" 5 s'écrit 



\f'{x)\<i 



v'(f{X)) 



Les raisonnements qui suivent reposent essentiellement sur la remaripie très .simple 

 que voici: 



Soit P un point donné quelconque de la surface Z distinct des points 0, \ , co , et, 

 de P comme centre, traçons un cercle c laissant ces mêmes points à l'extérieur. Dans ces 

 conditions, si l'on donne au paramètre A une valeur positive fixe tandis qxi'on fasse varier le 

 point P^^ h l'intérieur du cercle c, la distance maxima de la courbe 0^{z,z^='^ a l'origine ad- 

 m,ettra une limite supérieure finie, et les distances minima de cette courbe a l'origine et au point 

 z = \ admettront des limites inférieures non-nulles. 



14. Nous ferons d'abord voii' comment se rattache à notre principe le théorème gé- 

 néral de M. Picard, relatif aux valeurs d'une fonction monogène dans le voisinage d'un point 

 singulier essentiel isolé, théorème qui peut s'énoncer comme il suit: 

 ■iN T. XXXV. 



"■*i^i 



