Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 23 



Si la fonction monogène f{x) est uniforme autour d'un point a qu'elle admet'comme 

 •point singulier essentiel isolé, la fonction prendra toute valeur finie donnée, exceptée peut-être 

 une seule valeur, dans un voisinage arbitrairement restreint de ce point. 



Admettons un moment qu'il existe au moins deux valeurs finies que f(x) ne prenne 

 pas pour \x — a.<^r^, et supposons que et 1 soient deux de ces valeurs, ce qui ne consti- 

 tue pas une restriction essentielle. Posons alors 



x' = log 



U - a / ' 



de sorte que le domaine 0< |a: — a|<C»Q soit transformé en la moitié X' du plan des x' si- 

 tuée- à droite de l'axe imaginaire. La fonction donnée f{x) se changera, par cette transfor- 

 mation en une fonction de x', fix'), qui sera régulière et différente de et de 1 dans le 

 demi-plan X', et qui admettra la période 2^i, en sorte qu'il nous suffira de l'étudier par 

 exemple dans la bande B comprise entre deux parallèles à l'axe imaginaire situées de part 

 et d'autre de cet axe à la distance st. 



Soit C une valeur finie quelconque distincte des valeurs et 1. D'après un théorème 

 de Weierstrass, on pourra trouver une suite de points x^, x^, •••, x-^, • ••, tendant vers le 

 point a et tels que 



\\mf{x^) = C. 



V = CD 



Désignons par x' celle des valeurs de l'expression log — ^— dont la partie imaginaire, 



X^ Cl 



divisée par i,' est supérieure ix —st et inférieure ou égale à ^; les' points ayant respec- 

 tivement pour affixes x^, x^, •••, xj, •■ ■ feront tous partie de la bande B et tendront vers oc 

 lorsque v augmente indéfiniment. 



Marquons maintenant sur un feuillet déterminé de la surface Z le point P dont 

 l'affixe est égal à C, et, d'autre part, les points ayant respectivement pour affixes les valeurs 



z^ = f{x;) = f{xj (v=l,2,-.-). 



Puis, de P comme centre, traçons un cercle c laissant à l'extérieur les points et 1. Les 

 points z^ seront, à partir d'un certain d'entre eux z^^, tous situés à l'intérieur de ce cercle. 



D'après la remarque faite à la fin du n" 13, nous pouvons donc affirmer que, pour 

 une valeur donnée finie et positive de -i, la distance maxima de l'une quelconque des 

 "courbes G^ (^, z J = A (v ^ j'^) à l'origine est inférieure à une quantité finie J/, et comme d'autre 

 part, d'après notre principe général, à tout point x' à l'intérieur du cercle O^. {x\ xj) = X 

 correspond, en vertu de l'égalité z = f{x'), un point z situé à l'intérieur de la courbe 0^{z,zj) = i., 

 il en résulte qu'on aura 'f{x') <^M k l'intérieur de chacun des cercles 0^,{x',xj) = k {v'^v^. 



liS parallèle à l'axe imaginaire qui passe par le point xj est coupée par la circonfé- 

 rence G^,{x',xJ) = X en deux points, A^ et B,^, dont la distance du point x^, d'après le n" 13. 

 est égale à 



2i: 



N:o 



fe'^'- 



