24 Ernst Lindelöf. 



1/ désignant la partie réelle de x'. Comme cette distance augmente indéfiniment en même 

 temps que v, le segment A„-B„ comprendra intérieurement le segment AJ BJ de la même 

 droite qui fait partie de la bande B, dès que v dépassera une certaine limite i\. Si v est 

 supérieur à la fois à v^ et à >'j, on aura donc \f(x')\<iM pour tout point du segment AJBJ. 

 Mais à ce segment correspond, dans le plan de la variable x, la circonférence de centre 

 a (jui passe par le point x^, et nous arrivons donc à cette conclusion qu'on a |/'(.'')!<-^ 

 sur une infinité de circonférences ayant a pour centre et dont les rayons tendent vers 

 zéro. Or il en résulte que le module de /'(t) reste inférieur à M pour tout point situé dans 

 un certain voisinage du point a, (lui serait ainsi un point régulier de la fonction f{x), con- 

 trairement à l'hypothèse. Cette contradiction prouve l'exactitude du théorème. 



15. En reprenant les hypothèses et la notation du n° 13, nous allons maintenant 

 établir le théorème qui suit: 



Si la fonction f(x) de la variable x^re"'' est régulière et différente de et de 1 dans 

 le demi-plan X situé à droite de l'axe imaginaire, et si, sur un certain rayon dont l'argument 



(f>^ est compris entre — ^ et t^, le module de cette fonction reste, pour 'r>rgO0), inférieur à une 



quantité finie il/, | f(x) \ restera au-dessous d'une limite finie dans le domaine 



(4) -2-+<î<y <|-<î, r>r^, 



le nombre positif ô étant donné aussi petit qu'on voudra '). 



S'il n'en était pas ainsi, c'est qu'il existerait dans le domaine (4) une .suite de points 

 tendant vers l'infini, x^',x^', •••,xj,---, tels que l'on eût 



(ôj hm f{.rj) = cc. 



En admettant un moment cette hypothèse, on aurait | /"(./■/) | > ilf dès que v est supérieur à 

 un certain entier i'„. Imaginons alors que le point .r, partant d'un point xj d'indice »'>''o, 

 se meuve suivant la droite parallèle à l'axe imaginaire passant par ce point, jusqu'au 

 point x" oîi cette droite coupe le rayon d'argument y^. Comme | /'(./■/) | > ilf et \f(x")\<iM, 

 on rencontrera nécessairement un ou plusieurs points où | f(x) \ est égal à M; nous désigne- 

 rons par x^ l'affixe du premier de ces points. 



') Il peut arriver que [/'(a')] ne reste pas au-dessous d'une limite fiuie lorsijue le point ,c^=| + »7( 

 tend vers l'infini de telle manière qu'on ait lim , ^ = cxi . Ceci arrive par exemple pour l'expression 



f{x) = ii(\ogia), 



où fi désigne la fonction inverse de la fonction i' définie au n" 12, lorsque x tend vei's l'infini de telle sorte 

 que lim I = — Qo . 



T. XXXV. 



