Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 25 



Les valeurs que prend la fonction f{x) aux points x^ ainsi définis étant toutes de 

 module M, leur ensemble admettra au moins une valeur-limite de même module; soit a une 

 telle valeur. On pourra choisir parmi les x^ une suite indéfinie de points, ^„ , ^„ , • ••, a;^ , •••, 

 d'indices croissants, de telle manière que f(x^^ ) tende vers la limite a lorsque v augmente 

 indéfiniment. En supposant M^l, ce qui est évidemment permis, on est sûr que la valeur 

 a sera différente à la fois de et de 1. 



Marquons sur un feuillet déterminé de la surface Z le point P dont l'affixe est égale 

 à «, et, de P comme centre, traçons un cercle c laissant à l'extérieur les points et 1. 

 Lorsque le point P^^ se déplace dans ce cercle, la distance maxima de la courbe G^{z,z^ = X 

 à l'origine, il'après la remarque faite au n° 13, admettra une limite supérieure finie que 

 nous désignerons par M{X). En raisonnant comme au n° l-i, on en conclut que l'inégalité 

 \f{x)\<iM{X) est vérifiée à l'intérieur de chacun des cercles 



(6) G,.(a-, x-J = A, 



à partir d'une certaine valeur i'^ de v. 



D'après le n" 13, la circonférence (6) découpe sur la pai-allèle à l'axe imaginaire pas- 

 sant par le point a-„_^, de part et d'autre de ce point, un segment dont la longueur est égale à 



2 1«„ 



?„„ étant la partie réelle de x^ . D'autre part, l'angle (4) intercepte de la droite en question 



un segment de longueur 



2?„^cot^. 



Si l'on donne à A une valeur assez petite pour que l'on ait 



1 



Ve^-'-l 



> cot ()', 



condition qui est vérifiée dès que 



(7) ' A<logsécd, 



tout point de ce dernier segment, et par suite aussi le point x', , sera compris à l'intérieur 

 du cercle (6) i), d'où il résulte que \f(xl^J\<CM(k) dès que j'>)'j. Or cette conclusion est en 

 contradiction avec l'antithèse (5). 



Le théorème est donc démontré. On se convainc d'ailleurs immédiatement qu'il reste 

 encore vrai si l'on suppose la condition | f{x) \ < M vérifiée, non pas sur un rayon, mais sur 

 une courbe quelconque L qui tend vers l'infini en restant à l'intérieur de l'angle (4). 



16. Voici un autre théorème servant à compléter le premier: 



Si la fonction f{x) est régulière et différente de et de 1 dans le demi-plan X situé à 

 droite de l'axe imaginaire, et si elle tend vers l'infini lorsque x s'éloigne indéfiniment suivant un 



') Si l'on prend S assez petit pour que l'on ait — ^ + ô < y„ < 2 — ô, les points x„ feront tous partie 

 du domaine (4). 



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