26 Ernst Lindelöf. 



certain rayon dont Vanjument (f^ est compris entre —^ et ^, la fonction tendra uniformément 



vers l'infini dans l'angle 



(8) -%^ + ô^(p<l~ô, 



quelque petit qu'on se donne le nombre positif ô. 



En effet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait trouver à l'intérieur de l'angle (8) une 

 suite de points, x(,x^, •••,^„', •••, tendant vers l'infini et tels qu'on eût pour chacun d'eux 

 \f{x)\<iM, M étant une quantité finie que nous supposerons plus grande que l'unité. En 

 raisonnant comnrie au n" 15, on en conclut l'existence d'une autre suite de points, x^, x^, ••■, 

 x^, ■■■, également situés dans l'angle (8) (cf. la note p. 25) et tendant vers l'infini, tels que 



lim f(xj = a, 



la valeur a étant de module M et par suite distincte des valeurs et 1. Il en résulte que, 

 à l'intérieur de chacun des cercles G^{x,x^) = X où v est supérieur à un certain entier, le 

 module \f{x)\ restera au-dessous d'une limite finie M{X). Or, si l'on choisit la valeur de l 

 de manière à satisfaire à la condition (7), la circonférence G^{x,x^) = X coupera chacun des 

 rayons qui limitent l'angle (8), et par suite aussi le rayon d'argument <Pq. Donc \fix)\ 

 restera inférieur à M(X) sur une infinité de segments de ce rayon, renfermant des points aussi 

 éloignés de l'origine qu'on voudra. 



Cette conclusion étant en contradiction avec l'hypothèse, notre théorème est prouvé. 

 Il est d'ailleurs permis de remplacer, dans l'énoncé de ce théorème, le rayon d'argument y^ 

 par une courbe quelconque L qui tend vers l'infini en restant à l'intérieur de l'angle (8). 



On peut appliquer aux fonctions 



-^- et ^ 

 f{x) ""^ l-f{x) 



le théorème ci-dessus ainsi que celui du n" 15, et l'on arrive ainsi à la proposition suivante: 

 La fonction f{x) étant toujours supposée régulière et différente de et de 1 dans le 



demi-plan X situé à droite de l'axe imaginaire ; 

 Si l'une des expressions 



\fix)l \f{x)-\\, ly^i 



tend vers zéro lorsque x s'éloigne indéfiniment suivant une courbe telle que L, elle tendra unifor- 

 mément vers zéro dans l'angle (8), quelque petit que soit ô; 



Si l'une de ces expressions reste au-dessus d'une limite positive sur une courbe telle que 

 L, elle restera au-dessus d'une limite positive dans l'angle (8), à partir d'une certaine valeur de r; 



Donc, si l'une des expressions ci-dessus, lorsque x tend vers l'infini suivant une certaine 

 courbe L, prend des valeurs inférieures à telle quantité qu'on voudra sans tendre vers zéro, il 

 en sera de même sur toute autre courbe semblable ^). 



') Ce dernier cas se présente par exemple pour la fonction 



1 + (log l .T) 



qui vérifie les conditions du théorème. Sur une courbe quelconque tendant vers l'infini dans X, cette fonc- 

 tion admet comme valeur-limite toute valeur dont la partie réelle est égale à ^ . 



T. XXXV. 



