Sur certaines inégalités dans la théorie des fondions. 27 



17. Convenons de dire (jue, sur une courbe donnée tendant vers l'infini, la fonction 

 f{x) admet une certaine valeur C comme une valeur-limite, si l'on peut trouver sur cette 

 courbe une suite de points tendant vers l'infini, x^, x,^. •••,x^, •••, tels que 



lim f(xJ = C. 



Nous allons établir cette proposition: 



Si la fonction f{x) de la variable x^^-\-iij est régulière et différente de et de \ dans 

 le demi-plan X situé a droite de l'axe imaginaire, l'ensemble de ses valeurs-limites est le même sur 

 deux courbes quelconques comprises à l'intérieur de X, 



7î = qPi(Ç) et ti = (pj^), 

 allant h l'infini de telle manière que l'abscisse 5 augmente indéfiniment et que l'on ait 



(9) lim£iill^iil) = 0. 



En particidier, si la fonction tend vers une limite déterminée sur l'une de ces courbes, 

 elle tendra vers la même limite sur l'autre. 



Supposons que f(x) admette la valeur C comme valeur-limite sur la courbe ti = f^{^), 

 ou, en d'autres termes, iiu'on puisse trouver sur cette courbe une suite de points tendant vers 

 l'infini, x^, x^, •■-, x^, ■•■, tels que l'on ait 



lim /-(x-j = C. 



V = GO 



Soit xj l'afflxe du premier point de la courbe 1 = ^2^^) qu'on rencontre en allant du point x^ 

 parallèlement à Taxe imaginaire. Nous ferons voir qu'on a également 



lim /■«) = C, 



ce (lui démontrera notre proposition. 



S'il n'en était pas ainsi, on pourrait parmi les xj trouver une infinité de points, 

 x ,x .••■.x ,••-, tels que l'on eut pour chacun d'eux 



(10) |/-«J-C|>d, 



ô étant une quantité positive. 



En admettant d'abord que la valeur C soit différente de 0, 1, co, marquons sur un 

 feuillet déterminé de la surface Z le point P dont l'afflxe est égale à C, et, de ce point comme 



centre, traçons un cercle de rayon -k (nous supposons ö assez petit pour que ce cercle laisse 



à l'extérieur les points et 1). Puis déterminons / de telle sorte que la distance maxima 

 de la courbe 0^{z,z^ = l au point P soit inférieure à ô pour tout point z^ compris dans le 

 cercle c, condition qui est remplie dès que A est supérieur à une certaine limite. 



N:o 7. 



