28 Ernst Lindelöf. 



La valeur de A étant ainsi déterminée, il résulte de notre principe général que l'iné- 

 galité \f{x) — C\<ià est vérifiée à l'intérieur de chacun des cercles G^(x^x^) = X^ à partir 

 d'un certain d'entre eux. 



La circonférence 0^(or., x^) = l coupe la parallèle à l'axe imaginaire passant par le point 

 x^ en deux points dont la distance de x\^ , d'après le n" 13, est donnée par l'expression 



2 |„, 



|„„ désignant la partie réelle de ;c^, . Or, d'après la condition (9), la distance 



i</'i(M-*/'2(MI 

 entre les points x^^ et x'^ est inférieure à cette expression dès que v est suffisamment 

 grand. Le point x'^ étant alors à l'intérieur de la circonférence Oj^(x,x^') = X, on aurait donc 

 /■(a;^)— C|<d pour )' suffisamment grand, ce qui est en contradiction avec l'antithèse (10). 

 Si C est l'une des valeurs 0, 1, oo, on démontre d'abord qu'on peut trouver, sur le 

 segment qui relie les points x^ et x'^^ , un point x'^ tel que, »' tendant vers l'infini, f(x'^ ) 

 tende vers une valeur a distincte des trois valeurs en question. La démonstration s'achève 

 comme au n° 14, en tenant compte de l'hypothèse (9) comme ci-dessus. 



18. Jusqu'à présent, nous nous sommes appuyé exclusivement sur le principe général 

 établi dans la première partie de ce travail. Nous allons voir maintenant que, par d'autres 

 considérations, à savoir en employant l'intégrale de Poisson, il est possible de préciser les 

 résultats obtenus ci-dessus dans le cas où /"(') tend vers une limite déterminée dans une 

 direction donnée. On a en effet le théorème suivant, que la théorie de la représentation con- 

 forme permettrait d'ailleurs de présenter sous une forme plus générale: 



Soit f'{x) une fonction monogène de la variable x^re"'' qui est continue pour 



(11) Vl^tP^Vs: »"^^0' 



et régulière à l'intérieur de ce domaine. 



Si la fonction f(x) tend vers une même valeur finie G lorsque x s'éloigne indéfiniment 

 suivant l'un ou Vautre des rayons qui limitent le domaine (11), et si son module reste dans ce 

 domaine inférieur à une quantité finie, la fonction tendra uniformément vers C pour (pi^(p^^2 

 lorsque r augmente indéfiniment. 



S'il arrive, au contraire, que la fonction f{x) tende vers des limites différentes sur les 

 deux rayons dont il s'agit, son module ne saurait rester au-dessous d'une quantité finie dans le 

 domaine (11) ^). 



') D'après un théorème établi par M. Phragmén et par nous dans un Mémoire récent {Acta mathe- 

 matica, 31), on peut même affirmer que, dans ce cas, le produit 



e— "lA-)!, (^ = ™:)- 



ne reste pas au-dessous d'une limite finie dans le domaine (11) si a est inférieur à une certaine quantité 



positive, 



*^ T. XXXV. 



