Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 29 



Effectuons un changement de variable, z=ip{x), réalisant la représentation conforme 

 du domaine (11) sur le cercle [ ^ | < 1, de telle sorte qu'au point a; = oc corresponde le point z = \. 

 La fonction f'{x) se transformera en une fonction de z, f{s), qui est régulière pour | ^; |< 1 et 

 continue pour 1^|^ 1, en exceptant peut-être le point z=l. 



Posons 2 = ^ + irj et _ 



f(z) = u{lii) + iv{^,ri); 



u et V sont des fonctions harmoniques dans le cercle 1 2: | < 1 et restent continues pour 

 |s|<l, excepté peut-être au point z = l. De plus, si l'on suppose que \f{x)\ reste au-dessous 

 d'une limite finie dans le domaine (11), il en sera de même de \u(^,ii)\ et de iv(^,fi)\ pour 



Dans ces conditions, nous pouvons appliquer aux fonctions «(?,»/) et v (Ç, ij) la for- 

 mule de Poisson. Soient r, y les coordonnées polaires par rapport à l'origine d'un point §, i 

 pris à l'intérieur de la circonférence |^| = 1, et m((/') la valeur de la fonction m (!,»?) au point 

 de cette circonférence dont l'affixe est e'*. La formule en question nous donne 



(12) ' ^ill) = è^( i^27^iir^^)T^ "('/') ^'/'' 



et une expression analogue pour f(?, »?). 



Admettons d'abord que f{x) tende vers la même valeur C = a-\-iß sur les deux rayons 

 qui limitent le domaine (U). L'expression M(t/') tendra vers « lorsque rp tend soit vers 

 soit vers 2^, et, d'après les propriétés bien connues de l'intégrale ci-dessus '), on en conclut 

 que la valeur de u (?, »?) diffère aussi peu qu'on voudra de « dans un voisinage suffisamment 

 restreint du point z=l. Dans les mêmes conditions, la fonction v{^,rj) sera aussi peu diffé- 

 rente de ß et, par suite, la fonction f{z) aussi peu différente de C qu'on voudra. Donc 

 f{x) — C tend uniformément vers zéro pour (p^<,(p^(p^ lorsque r tend vers l'infini, comme 

 l'exige la première partie de notre théorème. 



19. La démonstration de la seconde partie du théorème énoncé au n" 18 est un peu 

 plus délicate, et nous devons nous borner à en indiquer brièvement les faces successives. 



On suppose que f(x) tend vers une certaine valeur finie C^ = «j + î|Ïj sur le rayon 

 d'argument (p^ et vers une valeur différente C^ = a^ + iß^ sur le rayon d'argument (f^. Il 

 s'agit de démontrer que \f{x)\ ne reste pas au-dessous d'une limite finie dans le domaine (11). 



S'il en était autrement, les fonctions ?((?,»/) et f(?, «/) seraient finies pour \z\<,l, et 

 on pourrait leur appliquer la formule de Poisson, comme nous l'avons déjà dit. Nous ver- 

 rons qu'en admettant cette hypothèse on- aboutit à une contradiction. 



Les valeurs Cj et C^ étant par hypothèse différentes, on ne saurait avoir à la fois 

 aj = «2 et ßi = ß2', admettons qu'on ait a^^zEK^. L'expression u{ip), qui figure dans la for- 

 mule (12), tendra vers «g lorsque ip tend vers et vers «^ lorsque ip tend vers 2^. Posons 



(13) . Uil »?) = M (?, v)^+ "^ arc tang ^^ - -^^? , 



') Voir H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, II, pages 175 — 210 et 360 — 361. 

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