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et désignons'^ par U{il!) la valeur que prend cette expression au point e'^ de la circonférence 



1^1 = 1. On constate immédiatement que f7(J, ^) définit une fonction harmonii|ue qui est 



régulière pour |2;|< 1 et continue pour 1^1 < 1, excepté peut-être au point 2=1, que \ü{^, ti)\ 



reste au-dessous d'une limite finie pour j^'l^l, et que U{ip) tend vers zéro lorsque ip tend 



soit vers soit vers 2st, pourvu qu'on ait choisi la branche de l'arc tang qui s'annule à 



l'origine. A l'aide de la formule de Poisson, on en conclut que | ?7(?, ij) \ est inférieur à telle 



quantité qu'on voudra dans un voisinage suffisamment restreint du point s=l. 



Désignons par 



F{z) = U{lri) + iV{lrj) 



la fonction monogène dont f7(§, »;) constitue la partie réelle. L'expression arc tang -~^ étant 



partie réelle de ^log(l — ^) et «(?,'/) partie réelle de f{z), on conclut de l'égalité (13), en 



choisissant convenablement la constante additive qui entre dans ^(1,»;), 



(14) Ä.) = i^(2) + \7-Mog(l-2)+ ''■t^. 



Nous allons étudier comment se comporte la fonction harmonique F(|, c;) dans le voi- 

 sinage du point z=\. Soient ^^ = J«1) un point de l'axe réel positif, c le cercle de rayon 

 1 — 1 décrit de ce ]ioint comme centre, q, x les coordonnées polaires par rapport au même 

 point d'un point J, »? pris à l'intérieur de c, et enfin [/'(?, tp) la valeur que prend l'expression 

 (18) au point de la circonférence du cercle c dont l'affixe est = 5 + (l — |)e"''. En appli- 

 quant la formule de Poisson à la fonction Z7(?, t]) dans le cercle c, on aura 



et en diftërentiant par rapporta q, puis faisant z=|,e = 0, on en conclut 



fJn 



dU{è,o) dvièr' ' "^" 



drj de 



Lorsque I tend vers 1, l'expression ?-f-(l — §)e'* tend uniformément vers 1 pour 0<^ip<r2^ 

 et, d'après ce qui a été démontré plus haut, l'expression t/(§, «/») tendra dans les mêmes con- 

 ditions uniformément vers 0. L'égalité ci-dessus nous montre dès lors qu'on a 



et, en intégrant, on en conclut que le quotient j^k^) '^^"'^^ '^^''^ ^^™ lorsque ? tend vers 

 1, d'où il résulte que le quotient i^fn L^) s'annule lorsque z tend vers 1 suivant l'axe réel. 

 Mais, en vertu de l'égalité (14), la fonction Jiz) devrait alors tendre vers l'infini. Or cette 

 fonction était finie pour l^'l^l en vertu de l'antithèse. Cette contradiction prouve l'exacti- 

 tude de notre théorème. 



T. XXXV. 



