Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 31 



20. On peut modifier et généraliser de différentes manières les résultats établis aux 

 n»^ 15-19. 



Aux trois valeurs 0, 1, oo qui y jouaient un rôle particulier, on peut ainsi substituer 

 trois valeurs distinctes quelconques «, h, c, dont l'une pourra être oo . Supposons en effet que, 

 dans le domaine donné X, la fonction monogène f{x) soit uniforme et régulière ou méro- 

 raorphe '), et qu'elle n'y prenne aucune des valeurs a, h, c. En admettant que a et ö soient 

 finies, la fonction 



^ ' f{x) - a c — h- 



où le second facteur doit être remplacé par l'unité dans le cas où c = oo, sera régulière et 

 différente de et de 1 dans le même domaine, de sorte qu'on pourra lui appliquer les résul- 

 tats établis plus haut. 



D'autre part, des changements de variable convenablement choisis nous permettront 

 de passer du demi-plan X considéré plus haut à des domaines plus généraux. 



Admettons par exemple que la fonction f(x) jouisse des propriétés énoncées ci-dessus 

 dans le voisinage d'un certain point singulier x^ défini par les inégalités 



r et (f désignant respectivement le module et l'argument de la différence x — x^. Si l'on pose 



z = e"''' {x~x^)-''-^R-\ 

 où « et ^ig désignent les quantités 



a = 



le domaine ci-dessus sera transformé en un domaine comprenant le demi-plan situé à droite 

 de l'axe imaginaire, de telle sorte qu'aux rayons issus du point x^ correspondront, dans 

 le plan des z, les rayons issus du point ^ = — i2 "". Par ce changement de variable, la 

 fonction donnée se transformera en une fonction de z jouissant des propriétés mentionnées 

 dans le demi-plan compris à droite de l'axe imaginaire. 

 On arrive ainsi au théorème suivant: 



En posant x~x^ = re"^\ admettons que la fonction monogene f(x) soit régtdière ou mé- 

 romorphe dans le domaine défini par les inégalités 



(15) Vi<<p<<P2J »•<-R, 



et quHl existe au moins trois valeurs distinctes, dont l'une pourra être oo , que la fonction ne 

 prend pas dans ce domaine. 



Désignons par a l'une quelconque de ces valeurs. 



') Suivant la tei-minologie usuelle, nous dirons qu'une fonction est mcromorphe dans un domaine donné, 

 si elle n'y présente d'autres singularités que des pôles. 



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