32 Ernst Lindelöf. 



Si la fonction f{x) tend vers a lorsque x tend vers x^ suivant une certaine courie L qui, 

 pour r suffisamment petit, reste comprise dans Tangle (p^-\-â<^(f <^cp^— d, oà <)'>0, elle tendra 

 uniformément vers a dans l'angle 

 (16) <p^-\-s<;(p£(p^-e, 



quelque petit que soit le nombre positif s. 



Si au contraire, sur une courbe telle que L, l'expression \f{x) — a\ ou, lorsque a = oo, 



l'expression , . reste, pour r suffisamment petit, supérieure à une limite positive, il en sera de 



même dans l'angle (16), quelque petit que soit e. 



D'autre part, si la fonction f{x) tend vers une limite déterminée quelconque C lorsque x 

 tend vers a;^ suivant un certain rayon compris dans l'angle (15), elle ne saurait tendre vers une 

 limite différente de C sur aucun rayon intérieur à cet angle. Si f{x) tend vers C sur deux 

 rayons différents, elle tendra uniformément vers C dans l'angle formé par ces rayons. Si f{x) 

 tend vers C sur un certain rayon dont l'argument (f^ est compris entre y^ et (f^, et s'il existe 

 des rayons d' arguments aussi peu différents de y^ qu'on voudra sur lesquels f{x) ne tend pas 

 vers C>), l'équation f{x) = C admettra nécessairement une infinité de racines tendant vers x^ et 

 dont les arguments tendent vers cp^. 



Enfin, sur deux courbes quelconques tendant vers x^ et ayant en ce point une tangente 

 commune dont l'argument est compris entre (p^ et (f.^, les valeurs-limites ^) de la fonction f{x) 

 seront les mêmes. 



Signalons encore la conséquence suivante qu'on déduit immédiatement de ce théorème, 

 et dont on pourra profiter en particulier pour étudier la distribution des valeurs d'une fonc- 

 tion entière. 



Soit f{x) une fonction monogène de la variable x^re"'' qui est uniforme et régulière 

 pour \(f~(f^\<iô, r>B. 



Si le module \f{x)\ reste inférieur à une limite finie sur le rayon d'argument tp^, pour 

 r>B, tandis que ceci n'a pas lieu dans le domaine jy — yoî = *> *"^-^l "" bien: 



Si, lorsque r augmente indéfiniment, f{x) tend vers V infini sur le rayon d'argument cp^, 

 sans tendre uniformément vers l'infini dans l'angle iy — yol = *> "^ encore: 



Si, sur le rayon d'argument (p^, le module \f{x)\ dépasse toute limite donnée, sans tendre 

 vers l'infini, tandis qu'on pourra trouver dans l'angle l<f — ^ol*^* '^^^^ courbe allant à l'in- 

 fini sur laquelle la fonction se comporte d'une manière différente; 



Et si la condition dont il s'agit est vérifiée quelque petit que soit le nombre positif «; 

 ou enfin: 



') Nous n'avons pas réussi à former une fonction f{x) répondant à ces conditions, ni d'autre part 

 à démontrer qu'il n'en saurait exister une. 



^) Nous dirons que, sur une courbe donnée tendant vers x„, la fonction fix) admet une certaine 

 valeur C comme valeur-limite, s'il existe sur cette courbe une suite de points, ï,, x„, • • -, x^, •••, tendant 

 vers x„ et tels que lim /' (x^ ) = C. 



v = CD 



T. XXXV. 



