Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 33 



S'il existe une courbe, tendant vers l'infini de telle manière que l'argument de x tende 

 vers (fg, sur laquelle l'ensemble des valeurs-limites de la fonction f(x) n'est pas le même que sur 

 le rayon d'argument qp^; 



On peut affirmer que l'équation 



fix) = C, 



pour toute valeur finie de C, exceptée peut-être une seule valeur, admet une infinité de racines 

 dont les arguments tendent vers <pg en même temps que leurs modules augmentent indéfiniment. 



21. En posant toujours x — XQ = re"", admettons maintenant que la fonction f{x) 

 jouisse pour 0-<r<i2, quelque soit y, des propriétés énoncées au commencement du n" 20. 

 Si l'on fait 



ce domaine se trouve transformé en le demi-plan situé à droite de l'axe imaginaire, de telle 

 sorte que les rayons issus du point x^ seront changés en des droites parallèles à l'axe réel, 

 tandis que, à toute autre droite du plan des z, correspondra dans le plan primitif une spirale 

 logarithmique ayant le point x^ comme pôle. 



En transcrivant les résultats obtenus aux n" 15—19, on est ainsi conduit au théorème 

 que voici: 



Soit Xq un point singulier de la fonction m,onogène f{x), posons x — XQ = re"'', et admet- 

 tons que la fonction f{x) soit régidière ou méromorphe pour 0<C.r <^IÎ, quel que soit tf, et qu'il 

 existe au moins trois valeurs distinctes, dont l'une pourra être oo , qu'elle ne prend pas à l'inté- 

 rieur de ce domaine. 



Cela étant, si f(x) tend vers une limite déterminée C lorsque x tend vers x^ suivant une 

 courbe quelconque L, telle que l'argument (p de x reste compris entre des limites finies, /"(ce) 

 tendra uniformément vers C dans tout angle d'étendue finie ayant son sommet au point x^. 

 D'une manière plus précise, si «(y) est une fonction positive quelconque tendant vers oo en 

 même temps que \fp\, on peut affirmer que l'expression f(x)—C\ ou, dans le cas on C=oc, 



l'expression .. , restera inférieure à telle quantité qu'on voudra dans le domaine 



(17) ,.^e-l^l»w^ ^^,.^^ 



pourvu qu'on choisisse r^ suffisamment petit. Si f{x) ne pirend pas la valeur C pour r<^R, 

 l'expression dont il s'agit jouira de la propriété indiquée dans le domaine 



(18) r<e"'"''"", r<rg, 



quelque petit que soit le nombre positif s, à condition qu'on prenne toujours r^ suffisamment petit. 

 Si au contraire, sur une courbe telle que L, l'expression \ f{x) ~ C\, respectivement . . , , 



reste supérieure a une limite positive dans un certain voisinage du point x^, il en sera de même 

 dans le domaine (17) ou, si f{x) ne prend pas la valeur C pour r<^R, dans le domaine (18), 

 dès que r^ est inférieur à une certaine quantité positive. 



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