34 Ernst Lindelöf. 



Plus généralement, étant donnée une valeur finie quelconque k, on peut affirmer que la 

 fonction f{x) admettra les mêmes valeurs-lhnites ^) sur toute courbe tendant vers x^^ de telle 



manière que le rapport ^^r. tende vers J:. 



22. Considérons en dernier lieu le cas où la fonction f{x) de la variable x^^^ + i^ 



jouit dans le domaine 



?1 < ?<?2, »? >»?o, 



des propriétés plusieurs fois mentionnées. Le changement de variable 



OÙ 



50 = — 9 — , « 



è. - ê, 



fera correspondre à ce domaine une partie du plan des z comprenant le demi-plan situé à 

 droite de l'axe imaginaire; les points à l'infini des deux domaines se correspondront mutuel- 

 lement, et aux droites parallèles à l'axe imaginaire du plan primitif correspondront, dans le 

 plan des z, les rayons issus du point z = — e'^''°. Les résultats démontrés plus haut peuvent 

 donc être présentés sous la forme suivante: 



Admettons que la fonction monogène f{x) de la variable x^^ + ii] soif régidière ou mé- 



romorphe pour 



h<i <h, V> Vo, 



et qu'il existe au moins trois valeurs distinctes, dont Ihme pourra être x, que f{x) ne prend pas 

 à l'intérieur de ce domaine. 



Désignons par a l'une quelconque de ces valeurs. 



Si f(x) tend vers la valeur a lorsque le point x tend vers l'infini suivant une certaine 

 courbe L dont l'abscisse, à partir d'une valeur finie de tj, reste comprise entre h + ^ et h — à, 

 où <î>0, f(x) tendra uniformément vers a pour ?i -f «<; I < I2 — « lorsque ij augmente indé- 

 finiment, et cela quelque petit qu'on se donne le nombre positif s. 



Si au contraire, sur une courbe telle que L, l'expression \f{x) — a\ ou, lorsque a=cc, 



l'expression . . V , reste, à partir d'une certaine valeur de ij, supérieure à une limite positive, il en 



sera de même pour ?i + s^?^l2 — *, quelque petit que soit s. 



D'autre part, si la fonction f{x) tend vers une limite déterminée quelconque C lorsque x 

 tend vers l'infini suivant une ce Mine droite § = Jo, où li < $0 < I2, elle ne saurait tendre vers 

 une limite différente de G sur aucune droite parallèle à la première et dont l'abscisse est com- 

 prise entre les mêmes limites. Si la fonction tend vers C sur deux droites différentes dont les 

 abscisses sont comprises entre li et I2, elle tendra uniformément vers C dans la bande limitée 

 par ces droites. 



Enfin, l'ensemble des valeurs-limites de la fonction f{x) est le même sur deux courbes 

 quelconques dont les abscisses, lorsque «? augmente indéfiniment, tendent vers une même limite 

 ïo comprise entre §1 et ^2- 



') Voir la deuxième note page 32. 



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