Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions. 35 



En terminant, nous indiquerons rapidement une application du tiiéorème ci-dessus à 

 la fonction C(s) de Riemann, sur laquelle nous aurons bientôt l'occasion de revenir d'une ma- 

 nière plus détaillée. 



En posant s = § + ir] et en faisant tendre | »/ 1 vers oc, le module \t{s)\ restera au- 

 dessous d'une limite finie si ? > 1 , tandis qu'on peut démontrer qu'il n'en est pas ainsi pour 



t<^. On en déduit l'existence d'un nombre lo bien déterminé, faisant partie de l'intervalle 



i5-<J<l, tel que, lorsque ! r; | tend vers oo, \C(s)\ reste au-dessous d'une limite finie ou non 



suivant que ? > $o ou J < ?o. A l'aide du théorème qui précède, on en conclut que, quelque 

 petit que soit «, il ne saurait y avoir deux valeurs finies distinctes que C (s) ne prenne pas 

 dans la bande ?o — « < I <C ?o + «• Eu d'autres termes, pour toute valeur finie de la constante 

 C, exceptée peut-être une seule valeur, V équation ^(s)=C admettra une infinité de racines 

 dont les parties réelles tendent vers |o en même temps que leiirs modules augmentent indéfiniment. 



V(^,- 



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