10 Karl F. Sundman. 



et en remontant aux expressions (16) on trouve ainsi la première des égalités 



29) 



lim « = (too + TOi) V = «1, 

 lim ß = {mo + m,)x =ß,, 

 lim )' = (mo + TOi) (/' = /!, 



dont les deux dernières s'obtiendront par un calcul analogue à celui qui précède. 

 Posons maintenant 



30) 



f?=?i+<J|, V=Vi+àv, C=?i+^t, 



a=a,+ôa, ß=ß,+Oß, y=y,+Ôy, t==i,+ôi; 



on obtiendra, au lieu des équations (19), (20) et (21), pour déterminer les dix-huit inconnues 

 Jl, ôrj, ô^, ()'?', ôtj', (îf, X, y, z, x', y', z', ôa, öß, ôy, r, r' et ôt dix-huit équations de la 

 forme 



31) S^^" ^'=^' ^' ■■■■ ^^^' 



où les q. tendent vers zéro et les Q. tendent vers des limites finies et déterminées lorsque u 

 tend vers Uf De plus les Q. sont développables en séries suivant les puissances ascendan- 

 tes des q., qui seront certainement convergentes tant que les quantités | g . 1 resteront infé- 

 rieures à une certaine quantité positive. 



Cherchons à déterminer une telle quantité x^. On voit d'abord que les Q,. sont déve- 

 loppables quand — et — le sont. Or on a d'après (10), (30) et (28) 



»"o" = Çi' + 2 I, ((î? - i^x) + 2 ru {âv - l^v) + 2 f , (ôl - fiz) 



+ (d§ - fix)^ + (ô^ - f^yf + (ô^ - i>z)\ 



r^ = e,^ + 2 11 {ôï ^lx)-^2 riy {ôri + ly) + 2 ^i [à^ + Iz) 



+ (d? + Ixf + {àri + lyy- + {ôl + '^z)\ 



d'où il résulte que V et r.^ peuvent se mettre sous la forme 



e.^ + i'(î,), 

 F{q^ étant un polynôme par rapport aux variables q., qui vérifie l'inégalité 



I P(g.) !< 12 e, X, + 12 V 

 tant que 1 g,- 1 < 5«i , même si l'on remplace chaque terme du polynôme par sa valeur absolue. 



Donc — et — sont certainement développables pour | g', 1< »«i si l'on détermine x^ de telle 

 ro ri 



manière que 



12(>ix, -f 12V<ei' 



Tom. XXXV. 



