Nouvelles recherches sur le problème des trois corps. 13 



les formules (40), on trouve que les quantités '§, r;, C, • • • sont aussi toutes développables 



suivant les puissances entières et positives de (t — ty, du moins tant que i^ — ^, | reste plus 

 petit qu'une certaine quantité positive *. Les quantités n, ï, >;, •••. considérées comme fonc- 

 tions de t, admettent donc (" = <, comme un point singulier algébrique autour duquel se per- 

 mutent circulairement trois branches de chacune de ces fonctions. — Ce résultat avait déjà 

 été obtenu par M. G. Bisconcini ^) par une voie différente. 



Par les séries ainsi obtenues nous pouvons, en particulier, calculer les valeurs des 

 quantités r, x, y, • • • dans le mouvement considéré pour chaque valeur réelle de t comprise 

 dans l'intervalle de <i — « à t^. 



Mais ces mêmes séries nous permettront encore de définir une continuation du mouve- 

 ment de nos corps après le choc. La seule continuation réelle s'obtient évidemment en 



choi.sissant la détermination réelle et positive de (< — <,)'. La valeur de cette radicale étant 

 réelle et négative pour les orbites primitives, on voit donc que, pour passer de celles-ci aus 

 nouvelles orbites, il faudra faire décrire à la variable complexe t un chemin tournant autour 

 du point ti de telle manière que l'argument de t — t^ augmente ou diminue de 3 w. D'ailleurs, 

 si l'on prend pour variable u au lieu de t, les nouvelles orbites seront évidemment repré- 

 sentées par les développements (40) en y faisant m — Mj > 0. 



D'après le principe du prolongement analytique, les coordonnées des corps vérifieront 

 encore pour i > /, les équations différentielles du mouvement et leurs intégrales premières, 

 de sorte que la constante des forces vives et celles des aires garderont les valeurs qu'elles 

 avaient avant le choc. De même, l'égalité r^ — {x'' + y^ + z^) = restera constamment véri- 

 fiée, et comme, d'après (40), la quantité r est positive après le choc, on voit qu'elle représen- 

 tera toujours la distance Po-Pi- 



Il résulte des développements (40) que les rapports — , -^, -_ tendent vers les mê- 

 mes limites y, %, '/', différentes de zéro, lorsque t tend vers t^, soit en croissant, soit en 

 décroissant. On voit donc que les orbites des corps 'P^ et P, présenteront chacune un point 

 de rebroussement au point où ces corps viennent se choquer. Au contraire, l'orbite du corps 

 Pi restera continue dans le voisinage de l'instant t^ du choc. 



Il va sans dire que, lorsque nous parlons de la continuation du mouvement après un 

 choc, nous supposons qu'il s'agisse de corps idéaux qui se réduisent à des points matériels, 

 sans quoi, dans le voisinage de l'instant t^, d'autres forces que leur attraction mutuelle en- 

 treraient en jeu. 



7. Puisque les coordonnées de nos points idéaux vérifient encore pour < > <i les 

 équations (1), (2) et (3), les résultats obtenus plus haut resteront vrais aussi pour le mouve- 

 ment après le choc, qui, en particulier, ne cessera d'être régulier que lorsqu'un nouveau choc 

 advient. Supposons que ceci ait lieu à l'instant 4; nous nous proposons de chercher une 

 limite inférieure de l'intervalle 4 ~ ^i • 



') G. Bisconcini, Sur le problème des trois corps, Acta Mathematica, T. 30. 

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