Nouvelles recherches sur le problème des trois corps. 15 



et la valeur de t pour u — ;/, = a satisfera par conséquent à l'inégalité 



mo + m, 



t-t,> 



18 a, 





qui sera, à plus forte raison, vérifiée pour t=^ti,. 



En résumé nous pouvons conclure que l'intervalle de temps entre les deux chocs consi- 

 dérés est plus grand que la moindre des quantités 



Wp + mi „ ,3 mp + mi 



12 ^' ^^ \SX, f 3A, 



En ayant égard aux significations de Q^' et ^, , on s'aperçoit dès lors que l'intervalle 

 en question ne peut devenir infiniment petit que si ç, devient infiniment petit ou si la vitesse V^ 

 devient infiniment grande. 



On aurait des résultats analogues si c'était la distance rp ou la distance >-i qui de- 

 venait nulle quand t tend vers t^. 



8. Supposons comme ci-dessus qu'un nouveau choc a lieu à l'instant /j- En intro- 

 duisant, lorsque t s'approche de la valeur <2, une variable auxihaire analogue à u, et en rai- 

 sonnant comme plus haut, on obtiendra une continuation réelle des orbites des trois corps 

 idéaux au delà de l'instant ^2, et ces nouvelles orbites constituent un vrai prolongement ana- 

 lytique de celles que nous avions définies pour ^i</<^2) et par suite aussi des orbites pri- 

 mitives. De la même manière on pourra continuer les orbites des corps idéaux après chaque 

 nouveau choc. 



Supposons que les chocs successifs aient lieu aux instants 



Nous allons démontrer qu'on a 



43) lim tv = oo. 



Admettons un instant qu'on ait 



44) hm t, = T, 



V = 00 



où t est fini. Nous verrous que cette hypothèse n'est pas admissible. 



De (44) il résulte d'abord que la plus petite des distances r,,, r^, r.^ tend nécessairement 

 vers zéro lorsque t tend vers t. 



En effet, dans le cas contraire on pourrait trouver une quantité finie ff, telle que les 

 distances /"o, *'i, /"2 seraient toutes supérieures à ff pour certaines valeurs t satisfaisant à 

 l'inégahté t— â <^t<^t, et cela quelque petit que soit ô. Mais il résulte immédiatement des 

 équations (1) et (2) que, si f est un tel instant, les fonctions x., y., z., • • • seront régulières 

 tant que \t—t'\<^a', a' étant une quantité positive qu'on peut calculer dès qu'on connaît cr. 

 Si l'on prend ô < a\ on aura dès lors une contradiction. 



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