16 Karl F. Sundman. 



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D'autre part, en inspectant la démonstration donnée dans la cinquième partie de notre 

 premier Mémoire, on voit sans peine qu'elle reste encore valable après un choc, si l'on con- 

 vient de continuer le mouvement comme nous l'avons fait ci-dessus. Il en résulte qu'on peut 

 trouver une constante positive h telle que la quantité considérée à l'endroit cité 





'2 V 2 A* 2 



0^ 1 M |_i2_ 



niQ m, nii 



reste supérieure à k pour t<it. 



On en conclut que, t tendant vers t, une seule et même distance tend vers zéro; nous 

 admettrons p. ex. que ce soit la distance r^ = r. On peut alors trouver une limite l^ telle 

 que les deux autres distances r^ et r^ ainsi que la distance ç restent supérieures à l^ pour t <Ct. 

 Or, d'après cela, les seconds membres des équations (6) resteront numériquement inférieurs à 



une quantité finie pour<<;', et on en conclut qu'il en est de même de ?'= jt, ï' = "^ ^^ 

 i' = -^, t^î'où il résulte aussi que la vitesse 



et par suite aussi F, restera inférieure à une limite finie pour t <C t. 



Si c'était la distance r^, ou r^ qui tendait vers zéro quand t tend vers t, on obtiendrait 

 des conclusions analogues. 



D'après ce que nous avons démontré à la fin du numéro précédent, l'intervalle ^, , 1 — ^,- 

 entre deux chocs consécutifs quelconques serait donc supérieur à une limite positive, quel 

 que soit i. Or, cette conclusion est évidemment en contradiction avec l'hypothèse (44), qui, 

 par suite doit être rejetée. Il faut donc bien qu'on ait 



hm ^„ = 00, 



a Q. F. D. 



On peut ainsi définir le mouvement des corps idéaux pour tous les temps, et la li- 

 mite inférieure de la quantité R que nous avons trouvée pour t < ti restera alors valable quel 

 que soit t, d'oîi l'on tire aisément la proposition suivante: 



Les conditions initiales étant fixées de telle manière que les constantes des aires ne soient 

 pas nulles toutes les trois, si l'on convient de continuer le mouvement après un choc comme nous 

 l'avons fait plus haut, on pourra trouver une longueur ? (> 0) telle que les deux plus grandes 

 des distances r. restent constamment supérieures à l. 



9. Considérons un choc quelconque où la distance r2 = r tend vers zéro. Nous avons 

 montré que le mouvement de nos corps est représenté par certains développements suivant 

 les puissances entières d'une variable auxiliaire ti — u,, et que ces développements sont cer- 

 tainement convergents pour les valeurs de u qui vérifient l'inégahté (39). En tenant compte 

 de la signification de Q et de ce que la distance Qi est plus grande que la longueur I2, on 

 en conclut que les rayons de convergence desdits développements restent supérieurs à une 



Tom. XXXV. 



