Nouvelles recherches sur le problème des trois corps. 21 



Si les constantes des aires ne sont pas toutes nidles et si, à jm moment donne', les distan- 

 ces d'un des corps aux deux autres sont lüus grandes qu'une longueur donnée, la vitesse de ce 

 corps par rapport au centre commun de gravité des trois corps sera inféneure à une limite finie, 

 qu'on peut calculer dès qu'on connaît les conditions initiales du système. 



10. Dans le numéro 8, nous avons vu qu'on ^^eut trouver une constante positive l 

 telle que les deux plus grandes des distances r^, ;-, , r^ restent toujours supérieures à l. 

 D'autre part nous avons étudié dans les numéros 3—6 le mouvement dans le voisinage 

 d'un instant où l'une des distances s'annule. Admettons maintenant qu'une des distances, 

 p. ex. >2 = '", tend vers une limite plus grande que zéro, mais très petite par rapport à l, 

 quand t tend vers une certaine valeur ij. En introduisant de nouveau les variables auxi- 

 liaires employées au n" 2 et 3, nous aurons encore à intégrer le système des équations (19), 

 (20) et (21). 



La distance r tendant vers une limite plus grande que zéro, lorsque t tend vers t^, 

 on peut choisir la constante t,, dans l'équation (11) de telle manière que r reste supérieur à 

 une limite positive quand t varie de ^o à t^. Il en résulte que u tendra vers une valeur 

 finie Ml quand t tend vers ^i. Soient (rj, (>•/), a;,, y, • • • les valeurs de r, r', x, y, ••• 

 pour t = t^ ou M = t<i ; en désignant par q. les quantités r — (ri) , }-' — (r/) , x — a;, , y — y^, z ~ Zi, 

 x'~x:,y'-yi',z'-z,',a-a,,ß-ß„Y-Y^,o^ = ^-§„o,l=,j-ri„ot=t-^„or = r~§r', 

 àri' = r)' — îji , dJ:' = t' — ti', t — t^ on trouvera encore pour déterminer les inconnues q. un sys- 

 tème d'équations 



31 his) $^ = Q^. (i=l, 2, •••, 18) 



du ' 



analogue au système (81). 

 Faisons maintenant 



61) =^.=3^; 



u 



en vertu du théorème démontré à la fin du n° 8 on aura Q.>~^1. 



= lä 



Comme, d'après les équations (U), (13), (16) et (48), on a pour t = ii 



I ic.' !, 1 2// i, I ^i' 1 et ' (r/) I < Vh(r,]{2mom,+^(^, 

 «il, lAI et ri <3(mo + Jrti) -^^7i(ri), 



on trouve que les inégahtés 



i^il, I2/1I, i^i et ('-iXl-, 



1^1' I, l2/i'„ kl'! et (r,')|<|, 



«il, li^il et |ri:<3(m„ + m,) + | 

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