Nouvelles recherches sur le problème des trois corps. 23 



était supposée petite. Nous voulons maintenant faire voir que la variable unique w définie 

 par les égalités 



65) dt = Pdw, t = pour w = 0, 

 où 



66) P = (l-e-fj^]-e-T)(l-e-TJ, 



peut toujours être employée au lieu de u. 



En continuant le mouvement après un choc comme il a été convenu plus haut, la 

 fonction P aura une valeur déterminée pour chaque valeur réelle du temps, et l'on aura con- 

 stamment 



67) 0^P<1, 



d'où résulte que les variables w et ^ croissent ou décroissent en même temps. 



Il est facile de voir qu'à une valeur finie de t correspond toujours une valeur finie de w 

 et réciproquement. 



En effet, dans l'intervalle de à ^, il ne saurait se produire qu'un nombre fini de 

 chocs; supposons que ces chocs aient lieu aux instants t^, 4, ••••, '„• Autour de chaque 

 valeur t. nous délimiterons un intervalle, (<, — ?, t. + t), s étant un nombre positif que nous 

 fixerons tout à l'heure. 



La fonction Pétant continue et positive pour t.-\- s<t'Ct.^^ — s, on voit d'abord que 



-TT reste dans cet intervalle inférieur à une limite finie, d'où il suit que « croit d'une quan- 

 tité finie lorsque t passe de <,. + « à t.^^ — s. 



Considérons maintenant l'un des intervalles où se produit un choc, soit l'intervalle de 

 t-~s à <; + «, et supposons p. ex. que ce soit la distance r2 = r qui s'annule pour t=t.. En 

 introduisant alors au lieu de t la variable u définie par l'égalité (11), ce qui est permis si l'on 

 a choisi « suffisamment petit, on aura, d'après (U) et (65), 



dm _ r 

 dri~P' 



r 

 et, en remarquant que -p reste fini et que u croit d'une quantité finie quand t croit de t. — « 



à t^ + e, on voit que m croîtra aussi d'une quantité finie. 



Par suite m sera certainement fini lorsque t est fini, et comme d'autre part, d'après 

 (65) et (67), <<w, la proposition réciproque aura également lieu. Notre assertion est donc 

 démontrée. 



De tout cela il résulte qu'on aura 



lim 01 = oo, lim ^ = oo, 



ï = X 09 == 03 



et qu'à chaque valeur réelle de t correspond une seule valeur de co et réciproquement. 



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