2i Karl F. Sundman. 



12. Étant donnée une valeur finie quelconque w de w, nous allons maintenant montrer 

 que les coordonnées des trois corps, leurs distances mutuelles et le temps sont développables 

 en séries suivant les puissances de « — w, et que les rayons de convergence de ces dévelop- 

 pements restent supérieurs à une limite positive, quelle que soit la valeur w. 



Deux cas sont à distinguer: 



Premier cas: Pour w = w l'une des distances r^, ri r^ est inférieure à f, où r désigne 

 la plus petite des trois quantités r^\ r/, r^' définies au n° 10. 



Pour M = 60, on aura alors l'une des inégalités 



68) »"o < '"o', ou J-i < r/, ou ra < r^'. 



(Deux des distances ro, r^, r^ étant toujours supérieures à la longueur l, qui est elle-même 

 supérieure à chacune des quantités ro', r/, r^. on sait que deux de ces inégalités ne sau- 

 raient avoir lieu en même temps). Admettons par exemple qu'on ait 



r^ < r^ . 



En se reportant au n° 10, et en désignant par u^ la valeur que prend la variable u pour 

 a) = w, on voit que les variables q. sont développables suivant les puissances de u — u^, du 



moins tant que | m — zt, s < y Q^'; d'ailleurs on aura visiblement | g,- 1< y tant que 



Les variables u et w sont liées par l'équation 



p 



du = — dw, (m = Ml pour w = w) , 



r 



où le quotient—, qui est une fonction entière des quantités r, ro, r^, est développable sui- 

 vant les puissances des Qi (tant que r, ro, r^ le sont, c'est à dire) tant que \qi\<^, et par 



suite aussi suivant les puissances de u — u^ tant que 1 m — Mi j < y ^2'- 



P 1 



Soit N un nombre supérieur aux valeurs que prend — lorsque 1 u — Ui\<^ Q2- 



r 



Un petit calcul montre qu'on peut prendre par exemple ') 



AT 5 



69) N^-^. 



') En effet, lorsque | m - m, | < ^ Q.', on aura, d'après (64), 



a) \x\, \y\, \z\ et |r[<i<i', 



et d'autre part, puisque les quantités | q^ | sont inférieures à < ^ et par suite, à plus forte raison, infé- 

 rieures à x,, 



ß) |ô||, |Ô7?| et ÎÔSKx... 



Posons pour un instant 



ro = a + bi; 



on aura _ n _ ^ i — — 



,,) \l-c i\^l+\e i\ = l+e '■ 



Tom. XXXV. 



