Nouvelles recherches sur le jnohlème des trois corps. 



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En vertu du théorème de Cauchy, nous pouvons en conclure que u — u, est développable sui- 

 vant les puissances de w — &> du moins tant que 



70) 



w — w I <C 



01 



2N' 



et que \ u — u^ \ <C -^ Q^' si cette inégalité a lieu. Il en résulte que les q. sont aussi dévelop- 



pables suivant les puissances de w — w du moins tant que m vérifie l'inégalité (70). 



En supposant r„<iro' ou r, < r/ pour » = «, on trouverait le même résultat, à cela 

 près que la constante Q2' serait remplacée par Qo' respectivement Q/. 



En somme nous pouvons affirmer que, dans le cas où Vune des inégalités (68) a lieu 

 pour «0 = 0), les coordonnées des trois corps, les distances r^, r,, I2 et le temps sont développàbles 

 suivant les puissances de m ~ w du moins tant que 



Q' désignant la plus petite des quantités Q^', Qi, Q-/- 



Second cas: pour m = û) toutes les distances r„, r, , r^ sont > r-, où r désigne la plus 

 petite des trois quantités r,', r/, r^' définies au n° 10. 



Soit t la valeur de t pour w = w, et désignons par x, i/., •••, r-o, T\, •••, x.', ••• les 

 valeurs correspondantes des quantités x., y., •••, r,,, r, , •••, x.', •••. A l'aide de l'égalité 



En vertu de («) et (ß) la valeur de ?•„- donnée page 10 montre qu'on a, lorsque [ t« — 2«, | < ., Ç,', 



(p désignant une quantité réelle et R une quantité positive qui vérifie l'inégalité 



B<12p, X, + 12;.,'-. 



En observant que p, ^_14xi, il s'ensuit que r„'' ne sera jamais égal à une quantité négative ou nulle quand 



j M — Ml I < -g Q.,', d'où résulte que a ne passera pas par zéro lorsque | m — Mj j < ^ Q^'. Comme a admet une 



valeur positive pour u = u,, il est visible que a restera positif lorsque [ m - m, | < -^ Q^', et on aura donc, 

 d'après {y). 



D'une manière analogue on trouve 



et en observant que 



et que 



1-e i <2. 



1-e ' |<2, 



1-e ' 

 r 



1 ;■ r- 





15 (e -1)<1,25. 



on trouve immédiatement, en vertu de (61), la valeur de JV donnée dans le texte. 

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