26 Karl F. Sundman. 



(2) on peut aisément trouver une constante positive t telle que les seconds mem- 

 bres des équations (1) et l'expression P soient développables suivant les puissances de 

 x. — x., y^ — ^i, ••• et que leurs modules soient inférieurs à une quantité finie T tant que les 

 quantités | x. — x. '[, 1 2/,- — ^, 1 , • • • restent inférieures à t. On en conclut que x. — .x., y. — §i, • • • 



sont développables suivant les puissances åe i — t du moins tant que \t — t\<^yp, et que les 

 quantités \x. — x.\, !»/,■ — ^j i ,•• • sont inférieures à t et par suite | P | < T quand | < — < | < -—• 

 En vertu du théorème de Cauchy il suit alors de (65) que \t — t\<iyp et que t — t est 



développable suivant les puissances de a — w du moins tant que ] <» — w | < ^^ de sorte que, 



enfin, les coordonnées des trois corps, les distances »•(,, r, , ^a et le temps sont dans ce second cas 

 développables suivant les puissances de m — B du moins tant que 



I «-« l<^- 



En résumé, nous arrivons donc à ce résultat, que les coordonnées des trois corps, leurs 

 distances mutuelles et le temps sont développables suivant les puissances entières de to — ô), quelle 

 que soit la valeur réelle w, et que ces développements convergent certainement tant que 



a désignant la plus petite des quantités 



m~w\ <ß, 



^' et ^ 



13. Donc les coordonnées des trois corps, leurs distances et le temps sont des fonc- 

 tions régulières de m dans une bande de largeur 2i3 comprise entre deux droites parallèles à 

 l'axe réel et symétriques par rapport à cet axe. En introduisant une nouvelle variable r 

 par la transformation bien connue 



71) 



2n 1 + T 



m= log z. , 



Jt(0 



e — 1 



3iœ 

 2ß 



+ 1 



toutes ces quantités, ainsi que «, seront dès lors développables suivant les puissances de r 

 si I T I < 1 . Les valeurs réelles de t entre — 1 et + 1 correspondront univoquement aux 

 valeurs réelles de t entre — oo et +oo. Nous avons par suite trouvé ce théorème remar- 

 quable: 



Tom. XXXV. 



