Sur les polygones de Poncelet. 



(Extrait d'un ouvrage posthume ')). 



Dans son célèbre „Traité des propriétés projedives des figures" (Deuxième édition, Paris 

 1865, Tome I, p. 349) Poncelet a énoncé le théorème général suivant: 



„Quand un polygone quelconque est à la fois inscrit à une section conique et circonscrit 

 à une autre, il en existe une infinité de semblables qui jouissent de la même propriété à l'égard 

 des deux courbes; ou plutôt tous ceux qu'on essayerait de décrire à volonté, d'après ces conditions, 

 se fermeraient d'eux-mêmes sur ces courbes". 



Dans le cas particulier où les deux coniques sont des cercles, le théorème est 



— — — facile à établir. Pour le prouver en général, il suffira, dès lors, de 



faire voir que, vues d'un centre convenablement choisi, les coniques données se présentent 

 comme les projections de deux cercles situés dans un plan. 



Dans les recherches que Poncelet a vouées a cette dernière question, la considération 

 des cordes idéales d'une section conique joue un rôle important. Il les définit de la manière 

 suivante: Soit C le centre et AA'{=2a), BB'{=2b) deux diamètres conjugués d'une conique 

 (C). Par un point du premier diamètre (ou de sa prolongation) menons une droite L pa- 

 rallèle au second. Si le point est intérieur à la conique, celle-ci déterminera sur la droite, 

 dont il s'agit une corde réelle MM' ayant pour centre, et l'on aura 



(1) ■ 310 =pAO-Ä'0, 



le facteur p ayant une valeur constante 



6^ 



pour toutes les cordes parallèles à celle que nous venons de considérer. Mais si est exté- 

 rieur à la conique, en sorte que la droite L ne la rencontre pas, et qu'on prenne sur celle-ci 



') Cet ouviage avait occupé l'auteur en 1906 — 1907 et U en avait à peu près achevé la rédaction 

 pendant les derniers mois de sa vie, à l'âge de quatre-vingts ans. Nous le publions ici textuellement, ex- 

 cluant seulement deux pages, dont la rédaction n'était pas encore mise au point. 



ERN.ST LlNDBLÖF. 



